Jak przedstawić rozwiązywalność układu równań liniowych z parametrami?

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Miszka06
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 28
Rejestracja: 28 lut 2019, 21:54
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 19 razy
Płeć:

Jak przedstawić rozwiązywalność układu równań liniowych z parametrami?

Post autor: Miszka06 »

Cześć wszystkim!

Mam małą zagwozdkę z pewnym zadaniem, które nie wydaje się jakoś szczególnie skomplikowane, ale sprawia mi trudności. Mianowicie mam zastanowić się nad podanym poniżej układem równań liniowych i przedyskutować jego rozwiązywalność w zależności od parametrów a i b. Standardowa procedura jest dość prosta - wpisałbym to wszystko w macierz i następnie metodą eliminacji Gaussa stworzył macierz schodkową, skąd odczytałbym rozwiązania. Jak przedyskutować jednak rozwiązywalność, gdy w układzie są parametry? Podaję go poniżej.

ax + by + az + t = 1
ax + y + az + t = 1
x + y + az + at = 1


To pierwszy przykład ze zbioru, więc pewnie jest prosty. Myślę jednak, że na jego podstawię uda mi się zrobić wszystkie kolejne. Proszę Was zatem o pomoc, jakąś wskazówkę. Z góry dziękuję!
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Jak przedstawić rozwiązywalność układu równań liniowych z parametrami?

Post autor: grdv10 »

Zauważ, że kolumny \(x,z,t\) zawierają tylko parametr \(a.\) Tak więc niezerowy wyznacznik \(x,z,t\) determinuje nam rząd \(3\) (w obu macierzach), więc układ ma rozwiązanie z jednym parametrem, niezależnie od \(b\). Oznaczony nigdy nie będzie z oczywistych powodów. No więc potem rozważ konkretne przypadki \(a\), dla których minor \(x,z,t\) jest zerowy.
ODPOWIEDZ