Podaj przykład homografii przekształcającej

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Podaj przykład homografii przekształcającej

Post autor: peresbmw »

Podaj przykład homografii przekształcającej :
a) dolna półpłaszczyznę zespolona na lewą półpłaszczyznę zespoloną
b) dolna półpłaszczyznę zespolona na koło jednostkowe
c) koło jednostkowe na prawa półpłaszczyznę zespoloną

Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, poda ktoś jakieś wskazówki ?
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Podaj przykład homografii przekształcającej

Post autor: grdv10 »

ad 2. W dolnej półpłaszczyźnie leżą punkty bliższe \(-i\) niż \(i.\) Oznacza to, że spełniają one nierówność \(|z+i|\leqslant |z-i|.\) Po podzieleniu mamy \(\left|\dfrac{z+i}{z-i}\right|\leqslant 1,\) więc szukaną homografią może być \(h(z)=\dfrac{z+i}{z-i}.\)

Jak to wymyśliłem? Otóż masz w książce Krysickiego takie zadania: narysuj zbiór punktów \(z\) spełniających nierówność \(|z-z_1|\leqslant|z-z_2|.\) Liczba \(|z-z_1|\) wyraża odległość \(z\) od \(z_1.\) Ewidentnie ta nierówność wiąże się z symetralną odcinka o końcach \(z_1,z_2\), na której są równe odległości. Nierówność masz w jednej z półpłaszczyzn. No więc widzisz, że dolna półpłaszczyzna ma krawędź będącą osią \(x\). Wystarczy więc znaleźć sobie dwa punkty symetryczne względem niej. Padło na \(\pm i\), bo to najłatwiej. Wniosek - tego rodzaju homografii mamy nieskończenie wiele.

ad 3. Podobny numer z symetralną odcinka. Tylko zacznij od homografii przekształcającej półpłaszczyznę na koło i znajdź homografię odwrotną.
ODPOWIEDZ