szereg Taylora

[enta]

Proszę o pomoc jak rozwiązujemy tego typu zadania:
Podaj pierwsze cztery wyrazy rozwinięcia funkcji
\( \frac{1-cos(z)}{sin(z)}\) w szereg Taylora w otoczeniu z=0

czy chodzi o to żeby zastosować wzór
\( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{f^n(x)}{n!}*x^n=f(x)+ \frac{f'(x)}{1!}x+ \frac{f''(x)}{2!}x^2+.... \)?

Do ilu mam liczyć pochodne i co będzie moimi czterema wyrazami.

[korki_fizyka]

raz
dwa
trzy pierwsze napisałeś
mam nadzieję, że poradzisz sobie też z czwartym

[enta]

Czyli moim pierwszym wyrazem jest f(z) drugim \(\frac{f'(z) }{1!} x\) itd?

[enta]

jak liczę f(0) to mi wychodzi \(\frac{0}{0} \) jak powinno być poprawnie?

[panb]

Dlaczego zmienna nazywa się z. Może chodzi o liczby zespolone?
\(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2},\,\,\, \Lim_{x\to 0 } \frac{2\sin^2 \frac{x}{2} }{\sin x}=0 \)

[enta]

Tak to liczby zespolone

[enta]

Czyli pierwszy wyraz f(z) jest równy 0? Pochodne liczę do trzeciego stopnia?

[panb]

Pierwszy wyraz to 0.
Wygląda., że jest to funkcja nieparzysta, więc tylko nieparzyste potęgi powinny zostać.
Chyba tak to powinno wyglądać (zapis może być inny):
\[f(z) \approx \frac{z}{2} + \frac{z^3}{24} + \frac{z^5}{240} \]


Wskazówka: przy liczeniu pochodnych skorzystaj z faktu, że \( \frac{2\sin^2 \frac{z}{2} }{\sin z} = \frac{2\sin^2\frac{z}{2}}{2\sin\frac{z}{2} \cos\frac{z}{2}}= \tg\frac{z}{2} \)

[enta]

a dlaczego aż \(z^5\)? jak mam cztery wyrazy, nie powinno być tylko do \(z^3\)?

[enta]

ile pochodnych powinnam liczyć?

[panb]

Może masz rację, a może jeszcze jeden wyraz trzeba dołożyć, żeby były 4 sztuki widoczne - sprawdź gdzieś w notatkach, może jest przykład. Ja bym podał jeszcze jeden wyraz, żeby było widać 4 elementy.

[korki_fizyka]

Najlepiej sprawdzić w podręczniku do analizy, bo notatek pewnie brak