Monomorfizm grup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
bartlonomiej
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 21 gru 2019, 13:07
- Płeć:
Re: Monomorfizm grup
Nie.
Przeanalizujmy sytuację. \(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}\), \(\mathbb{Z}_8 = \{0, ..., 7\}\).
Powinno być oczywiste, że \((0,0) \rightarrow 0\). Pozostałe elementy muszą przejść na elementy rzędu 1 lub 2, ale element rzędu 1 to element neutralny, na które przechodzi nam (0,0). Interesują nas zatem rzędy 2. Elementy rzędu 2 w \(\mathbb{Z}_8\) są następujące: \(\{4\}\) - i właściwie to jest jedyny element rzędu 2, dlatego nie ma możliwości na monomorfizm.
Bardzo użyteczny fakt: jeżeli \(f : G \rightarrow H\) jest jakimkolwiek homomorfizmem grup skończonych, to rząd elementu \(f(g)\) dzieli rząd \(g\). Dowód tego faktu nie jest trudny, możesz spróbować go zrobić.
Przeanalizujmy sytuację. \(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}\), \(\mathbb{Z}_8 = \{0, ..., 7\}\).
Powinno być oczywiste, że \((0,0) \rightarrow 0\). Pozostałe elementy muszą przejść na elementy rzędu 1 lub 2, ale element rzędu 1 to element neutralny, na które przechodzi nam (0,0). Interesują nas zatem rzędy 2. Elementy rzędu 2 w \(\mathbb{Z}_8\) są następujące: \(\{4\}\) - i właściwie to jest jedyny element rzędu 2, dlatego nie ma możliwości na monomorfizm.
Bardzo użyteczny fakt: jeżeli \(f : G \rightarrow H\) jest jakimkolwiek homomorfizmem grup skończonych, to rząd elementu \(f(g)\) dzieli rząd \(g\). Dowód tego faktu nie jest trudny, możesz spróbować go zrobić.