Borykam się z tymi zadaniami:
1)Wyznacz wartości własne i wektory własne przekształcenia liniowego : T: R3>R3, T(x,y,z) = (x+z,-x+2y, 2x)
2)wektor w1(x)=2x^2+x, w2(x)=3x+1 uzupełnij do bazy przestrzennejR3(x)
3)sprawdz czy przekształcnie T: R2>R3 określone wzorem T(x,y)= (2x-3y, -3x, 2y-1) jest liniowe.
Macierz przekształcenia T wygląda tak \(\begin{bmatrix}1&0&1\\1&2&0\\2&0&0 \end{bmatrix} \)
Wielomian \(W(\lambda)= \begin{vmatrix}1-\lambda &0&1\\ 1&2-\lambda&0 \\ 2&0&0-\lambda\end{vmatrix} =(1-\lambda)(2-\lambda)(-\lambda)-2(2-\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2-4\) \(W(\lambda)=0 \iff \lambda=-1 \vee \lambda=2\) i to są wartości własne przekształcenia T
Szukamy wektorów własnych przekształcenia T
\(\lambda=-1 \So \begin{bmatrix} 1-(-1)&0&1\\1&2-(-1)&0\\2&0&-(-1)\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix}2x+z\\x+3y\\2x+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0 \end{bmatrix} \iff \\ \iff x=-3k, y=k, z=6k ,\,\,\, k\in\rr\)
więc wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\lambda=-1\) to \((-3,1,6).\)
\(\lambda=2 \So \begin{bmatrix} 1-2&0&1\\1&2-2&0\\2&0&-2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix}-x+z\\y\\2x-2z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} \iff \\ \iff x=z=k, \,\,\, y=0,\,\,\, k\in \rr\)
więc wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\lambda=2\) to \((1,0,1).\)
