Geometria analityczna

[nati1]

1) Punkty A(2,5,-1), B(3,1,2) i C(x0,y0,z0) są współliniowe. Wiadomo, że C leży na płaszczyźnie \pi: 3x-2y-6z+19=0
Oblicz współrzędne C.

2) Punkty A(2,3,2), B(5,1,8), C(-1,4,-2) i D(6,1,-3) są wierzchołkami czworościanu ABCD. Oblicz objętość czworościanu ABCD, pole powierzchni ściany ABC oraz wysokość czworościanu opuszczoną z wierzchołka D.

3) Prosta l zawiera dwusieczną BAC, gdzie A(-1,2,6) ; B(1,4,5) i C(3,-2,-1)?
Czy wektor [3,-1,-4] jest wektorem kierunkowej prostej l?
Czy wektor [5,1,-5] jest wektorem kierunkowej prostej l?
Prosta l przechodzi przez punkt (2,1,2)?
Prosta l przechodzi przez punkt (9,4,-4)?

Bardzo proszę o odpowiedź.

[radagast]

1) Punkty A(2,5,-1), B(3,1,2) i C(x0,y0,z0) są współliniowe. Wiadomo, że C leży na płaszczyźnie \(\pi: 3x-2y-6z+19=0\)
Oblicz współrzędne C.

\(\vec{AB}= \left[1,-4,3 \right]\)
prosta AB ma przedstawienie parametryczne \(\begin{cases}x=t+2\\y=-4t+5\\z=3t-1 \end{cases}\)
Znajdźmy jej punkt przecięcia z \(\pi\):
\(3(t+2)-2(-4t+5)-6(3t-1)+19=0 \So t=3\)
punkt C ma więc współrzędne \((5,-7,8)\)

[radagast]

2) Punkty A(2,3,2), B(5,1,8), C(-1,4,-2) i D(6,1,-3) są wierzchołkami czworościanu ABCD. Oblicz objętość czworościanu ABCD, pole powierzchni ściany ABC oraz wysokość czworościanu opuszczoną z wierzchołka D.

\(\vec{AB} = \left[3,-2,6 \right]\)
\(\vec{AC} = \left[-3,1,-4\right]\)
\(\vec{AB} \times \vec{AC}= \left[2,-6,9 \right]\)
\(\begin{vmatrix} \left[2,-6,9 \right] \end{vmatrix} = \sqrt{121}=11\)
\(P_{ \Delta ABC}= \frac{11}{2}=5,5\)
Równanie płaszczyzny \(\pi _{ABC}\) : \(2x-6y+9z+E=0\)
przy czym \(A \in\pi _{ABC}\) zatem \(2 \cdot 2-6 \cdot 3+9 \cdot 2+E=0\)
stąd \(E=-4\) czyli \(\pi _{ABC}\) : \(2x-6y+9z-4=0\)
Wysokość \(h\) czworościanu to odległość punktu \(D\) od płaszczyzny \(\pi _{ABC}\)
\(h= \frac{|2 \cdot 6-6 \cdot 1-9 \cdot 3-4|}{11}=\frac{|12-6 -27-4|}{11}= \frac{25}{11}\)
Objętość czworościanu \(V= \frac{1}{3} \cdot 5,5 \cdot \frac{25}{11} =4 \frac{1}{6}\) chyba, że się pomyliłam w rachunkach. (warto to sprawdzić )

[radagast]

3) Prosta l zawiera dwusieczną BAC, gdzie A(-1,2,6) ; B(1,4,5) i C(3,-2,-1)?
Czy wektor [3,-1,-4] jest wektorem kierunkowej prostej l?
Czy wektor [5,1,-5] jest wektorem kierunkowej prostej l?
Prosta l przechodzi przez punkt (2,1,2)?
Prosta l przechodzi przez punkt (9,4,-4)?

\(\vec{AB}= \left[2,2,-1 \right], \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} =\left[ \frac{2}{3} ,\frac{2}{3},-\frac{1}{3} \right] \\ \vec{AC}= \left[4,-4,-7 \right], \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|} =\left[ \frac{4}{9} ,-\frac{4}{9},-\frac{7}{9} \right]\)
\(\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}+ \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}=\left[ \frac{2}{3} ,\frac{2}{3},-\frac{1}{3} \right] +\left[ \frac{4}{9} ,-\frac{4}{9},-\frac{7}{9} \right]= \left[5,1,-5 \right]\)-wektor kierunkowy prostej l.
\(p(t)= \left(5t-1,t+2,-5t+6 \right)\)
No to przez punkt (2,1,2) nie przechodzi, a przez punkt (9,4,-4) przechodzi.