wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni

[lolipop692]

wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań stosując algorytm eliminacji Gaussa:\(\begin{cases} x-2y+s+3t=0\\ 2x+2z+s=0\\ x+z+4t=0\\ x-4y-z+s+10t=0\end{cases}\)

[panb]

To żmudny zapis, więc napiszę co robić po kolei i jaki jest rezultat. Macierze sobie sama zapisz.
1. zamieniam wiersz 3 (w3) z pierwszym (w1) -zabieg kosmetyczny
2. \(\begin{cases}w2-2 \cdot w1\\w3-w1\\w4-w1 \end{cases}\)
3. \(w4-2 \cdot w3\)
4. w4+w2
5. zamieniam wiersz 2 z wierszem 3 -zabieg kosmetyczny
6. w2-w3

REZULTAT:

• \(\begin{bmatrix} x&y&z&s&t\\1&0&1&0&4\\0&-2&-1&0&7\\0&0&0&-1&8\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}\)

To oznacza układ równań: \(\begin{cases} x+z+4t=0\\-2y-z+7t=0\\s-8t=0\end{cases} \iff \begin{cases}z=- \frac{7}{11}x - \frac{8}{11}y\\s=- \frac{8}{11}x + \frac{16}{11}y\\t=- \frac{1}{11}x + \frac{2}{11}y \end{cases}\)

Rozwiązanie (x,y,z,s,t) układu można więc zapisać w postaci \(\left( x,y,- \frac{7}{11}x - \frac{8}{11}y, - \frac{8}{11}x + \frac{16}{11}y,- \frac{1}{11}x + \frac{2}{11}y \right)\)
Ten wektor można zapisać w postaci: \(-\frac{x}{11} \cdot \left(-11,0,7,8,1 \right) + \frac{y}{11} \cdot \left(0,11,-8,16,2 \right)\)

To oznacza, że przestrzeń rozwiązań ma wymiar 2, a bazą są wektory \(\left(-11,0,7,8,1 \right),\,\, \left(0,11,-8,16,2 \right)\)

P.S. Nie zapomnij kliknąć na podziękowanie - to qupa roboty!

[lolipop692]

No jasne dzięki wielkie za pomoc:)