Dane jest przekształcenie liniowe L(x,y,z)

[peresbmw]

Dane jest przekształcenie liniowe \(L(x,y,z)=(4x-z,2x+2y-2z,2z)\)
a) Wyznacz bazę jądra i obrazu przekształcenia L
b) Wyznacz wartości własne i wektory własne przekształcenia L.

[panb]

\(L(x,y,z)=0 \iff \begin{cases} 4x-z=0\\2x+2y-2z=0\\2z=0\end{cases} \iff x=y=z=0\), więc \(\ker L=\{(0,0,0)\}\)

\((4x-z,2x+2y-2z,2z)=2x \cdot (2,1,0)+2y \cdot (0,1,0)+z \cdot (-1,2,2)\)
Ponieważ \(\begin{vmatrix} 2&1&0\\0&1&0\\-1&2&2\end{vmatrix} =4 \neq 0\), więc \(im L=lin\{(2,1,0), (0,1,0), (-1,2,2)\}\)

Jądrem jest wektor zerowy, a bazą obrazu są wektory \(\{(2,1,0); (0,1,0); (-1,2,2)\}\)

[panb]

Macierz przekształcenia L ma postać: \(\begin{bmatrix}4&0&-1\\2&2&-2\\0&0&2\end{bmatrix}\).
Myślę, że wielomian charakterystyczny znajdziesz łatwo. Jest to wyznacznik macierzy \(L_\lambda= \begin{bmatrix}4-\lambda&0&-1\\2&2-\lambda&-2\\0&0&2-\lambda\end{bmatrix}\).
W razie problemów (np. z wektorami własnymi) daj znać.

[peresbmw]

ok wyznacznik mi wyszedł \((4-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)\) i jak dalej?

[eresh]

ok wyznacznik mi wyszedł \((4-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)\) i jak dalej?

przyrównaj do zera, dostaniesz wartości własne

[panb]

Skąd to \((3-\lambda)\)?