Nierówność

[karolo48]

Rozwiż nierówność \(\sqrt{8-log_{2}x} \ge log_{2}x - 6\)

[eresh]

wyznaczamy dziedzinę
\(x>0\\
8-\log_2x\geq 0\\
-\log_2x\geq =-8\\
\log_2x\leq 8\\
\log_2x\leq \log_2256\\
x\leq 256\)
\(D=(0,256]\)

I.
\(log_2x-6<0\\
\log_2x<6\\
\log_2x<\log_264\\
0<x<64\)
dla \(x\in (0,64)\) prawa strona nierówności jest ujemna, więc nierówność jest spełniona dla każdej liczby z przedziału \((0,64)\)

II
\(x\in [64,256]\\
8-log_2x\geq (log_2x-6)^2\\
8-\log_2x\geq\log_2^2x-12\log_2x+36\\
\log_2^2x-11\log_2x+28\leq 0\\
\log_2x=t\\
t^2-11t+28\leq 0\\
t\in [4,7]\\
4\leq \log_2x\leq 7\\
\log_216\leq \log_2x\leq \log_2128\\
x\in[16,128]\;\; \wedge \;\;x\in [64,256]\\
x\in[64,128]\)

Z I lub II mamy \(x\in (0,128]\)