Macierz przekształcenia liniowego w różnych bazach

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
fvzzini
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 14 sty 2019, 15:01
Podziękowania: 6 razy
Płeć:

Macierz przekształcenia liniowego w różnych bazach

Post autor: fvzzini »

Napisać macierz przekształcenia liniowego \(L : \rr^3 \to \rr^3\), określonego wzorem
\(L([x, y, z]) = [z + y, −x, z]\)
a) w bazie kanonicznej,
b) w bazie [1, 1, 1], [2, 3, 3], [1, 2, 3],
c) sprawdzić czy odwzorowanie to jest odwracalne; jeśli tak, to znaleźć macierz odwzorowania
odwrotnego w bazie kanonicznej.

W podpunkcie a) obliczyłem:

\(L([1,0,0])=[0,-1,0],\)
\(L([0,1,0])=[1,0,0],\)
\(L([0,0,1])=[1,0,1],\)

i wyznaczyłem macierz przekształcenia:

\(\begin{bmatrix}0&1&1\\-1&0&0\\0&0&1 \end{bmatrix}\)

W b) obliczyłem:
\(L([1,1,1])=[2,-1,1],\)
\(L([2,3,3])=[6,-2,3],\)
\(L([1,2,3])=[65,-2,3],\)

Następnie przedstawiłem otrzymane wektory jako kombinacje liniowe tych bazowych:

\(a[1,1,1]+b[2,3,3]+c[1,2,3]=[2,-1,1]\) itd.

Po wyliczeniu a, b i c dla wszystkich wektorów powstała macierz:

\(\begin{bmatrix}10&27&24\\-5&-13&-12\\2&5&5 \end{bmatrix}\)

Pytanie, czy o tą macierz chodziło i czy poprawnie to rozwiązałem?

Co do c) to wystarczy sprawdzić czy macierz z podpunktu a) jest odwracalna, a następnie ją wyznaczyć?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Tak / Tak / Tak
ODPOWIEDZ