Określanie wymiarów macierzy i wyznaczanie X z macierzy

[Maturzysta2k18]

Cześć! Potrzebuję pilnej pomocy z takim zadankiem:



Na zdjęciu ucięło się słowo "SPEŁNIAJĄ".
Kompletnie nie wiem jak to zrobić, a jutro rano czeka mnie kolokwium Proszę o pomoc

[panb]

\([A]_{n\times n}\) -oznacza, że macierz A ma n wierszy i n kolumn. \([A^T]_{n\times n}\).
Żeby dało się wykonać mnożenie \(XA^T\), musi być \([X]_{k\times n}\), wtedy
\([XA^T]_{k\times n} \So [(XA^T)^T]_{n\times k}\)
Żeby wykonalne było działanie \(3B-(XA^T)^T\) macierz musi być \(_{n\times k}\)
Skoro lewa strona tego równania jest macierzą o wymiarach \([L]_{n\times k}\), to prawa też musi być taka \([P]_{n\times k}\).
\(_{n\times k} C^T=[P]_{n\times k}\), więc musi być \([C]_{k\times k}\)

• Odpowiedź: \([X]_{k\times n},\,\,\, _{n\times k},\,\,\, [C]_{k\times k}\), gdzie \(k\in \nn\)

[panb]

Załóżmy, że znasz własności transpozycji. Jeśli nie, znajdziesz je tutaj.

\(3B-(XA^T)^T=BC^T\\
3B-AX^T=BC^T\\
-AX^T=BC^T-3B\\
AX^T=3B-BC^T\\
X^T=A^{-1} \left( 3B-BC^T\right)\\
X= \left( 3B-BC^T\right)^T \left( A^{-1}\right)^T\\
X= \left(3B^T-CB^T \right) \left(A^{-1} \right)^T\)

[Maturzysta2k18]

\([A]_{n\times n}\) -oznacza, że macierz A ma n wierszy i n kolumn. \([A^T]_{n\times n}\).
Żeby dało się wykonać mnożenie \(XA^T\), musi być \([X]_{k\times n}\), wtedy
\([XA^T]_{k\times n} \So [(XA^T)^T]_{n\times k}\)
Żeby wykonalne było działanie \(3B-(XA^T)^T\) macierz musi być \(_{n\times k}\)
Skoro lewa strona tego równania jest macierzą o wymiarach \([L]_{n\times k}\), to prawa też musi być taka \([P]_{n\times k}\).
\(_{n\times k} C^T=[P]_{n\times k}\), więc musi być \([C]_{k\times k}\)

• Odpowiedź: \([X]_{k\times n},\,\,\, _{n\times k},\,\,\, [C]_{k\times k}\), gdzie \(k\in \nn\)

Bardzo dziękuję za obie odpowiedzi!
I mam dwa pytanka:
1. Od czego zależy jakie wymiary powstaną po wymnożeniu macierzy? Czy zawsze te wymiary zostają takie jakie były w macierzy stojącej po lewej stronie? Czy jakoś inaczej to działa?
2. Czy jeśli mamy napisane "nieosobliwa macierz stopnia n" to znaczy, że ta macierz ma wymiary nxn i jej wyznacznik nie jest równy 0, tak?

[eresh]

1. Od czego zależy jakie wymiary powstaną po wymnożeniu macierzy? Czy zawsze te wymiary zostają takie jakie były w macierzy stojącej po lewej stronie? Czy jakoś inaczej to działa?
2. Czy jeśli mamy napisane "nieosobliwa macierz stopnia n" to znaczy, że ta macierz ma wymiary nxn i jej wyznacznik nie jest równy 0, tak?

1. jeśli mnożymy macierze \(m\times n\) i \(n\times k\) to dostaniemy macierz \(m\times k\)
2. tak, nieosobliwa macierz, to macierz kwadratowa o niezerowym wyznaczniku