forum.zadania.info

1. Napisac równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(−3, 1, 1), B(−8, 2, 0) i równoległej do prostej
\(\frac{x+1}{3}= \frac{y-2}{0} = \frac{z-1}{2}\)

2. Znalezc równanie płaszczyzny zawierajacej punkty A(1, 0, 0), B(0, 0, 1), która z płaszczyzną π
x + y−z + 10 = 0 tworzy kąt \(\frac{ \pi }{3}\)

franco11 pisze:1. Napisac równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(−3, 1, 1), B(−8, 2, 0) i równoległej do prostej
\(\frac{x+1}{3}= \frac{y-2}{0} = \frac{z-1}{2}\)

\(\vec{AB}= \left[ -5,1,-1\right]\) -wektor równoległy do płaszczyzny
\(\left[ 3,0,2\right]\)-drugi wektor wektor równoległy do płaszczyzny
\(\left[ -5,1,-1\right] \times \left[3,0,2 \right]= \left[ 2,7,-3\right]\) -wektor prostopadły do płaszczyzny
\(2x+7y-3z+D=0\)-równanie płaszczyzny
przy czym \(2 \cdot (-3)+7 \cdot 1-3 \cdot 1+D=0\) czyli \(D=2\)
odpowiedź: \(2x+7y-3z+2=0\)

franco11 pisze: 2. Znalezc równanie płaszczyzny zawierajacej punkty A(1, 0, 0), B(0, 0, 1), która z płaszczyzną π
x + y−z + 10 = 0 tworzy kąt \(\frac{ \pi }{3}\)

\(\vec{u} = \left[ 1,1,-1\right]\)-wektor prostopadły do płaszczyzny
\(\left[ 1,1, \frac{1}{2} \right]\)-wektor nachylony do \(\vec{u}\) pod kątem \(\frac{ \pi }{3}\)
równanie szukanej płaszczyzny \(x + y+ \frac{1}{2}z+D = 0\) przy czym
\(1 + 0+ \frac{1}{2} \cdot 0+D = 0\) czyli \(D=-1\)
odpowiedź \(x + y+ \frac{1}{2}z-1 = 0\)

radagast pisze:

franco11 pisze: 2. Znalezc równanie płaszczyzny zawierajacej punkty A(1, 0, 0), B(0, 0, 1), która z płaszczyzną π
x + y−z + 10 = 0 tworzy kąt \(\frac{ \pi }{3}\)

\(\vec{u} = \left[ 1,1,-1\right]\)-wektor prostopadły do płaszczyzny
\(\left[ 1,1, \frac{1}{2} \right]\)-wektor nachylony do \(\vec{u}\) pod kątem \(\frac{ \pi }{3}\)
równanie szukanej płaszczyzny \(x + y+ \frac{1}{2}z+D = 0\) przy czym
\(1 + 0+ \frac{1}{2} \cdot 0+D = 0\) czyli \(D=-1\)
odpowiedź \(x + y+ \frac{1}{2}z-1 = 0\)

To nie jest dobre rozwiązanie. Łatwo można się o tym przekonać licząc iloczyn skalarny wektora normalnego otrzymanej płaszczyzny z wektorem AB. Jest niezerowy, wiec te wektory nie są prostopadłe.

PS
\(\pi : \ \ x+ \sqrt{6}y+z-1=0\)

W zadaniu 1 jest inna odpowiedz choć ja tego nie rozumiem x + 2y - 3z + 4 = 0.

Jeżeli chodzi o zadanie 2, to faktycznie rozwiązałam je źle ale zadanie 1 jest ok:
Sprawdźmy:
\(2 \cdot (-3)+7 \cdot (1)-3\cdot (1)+2=0\) czyli A leży na znalezionej płaszczyźnie.
\(2 \cdot (-8)+7 \cdot (2)-3\cdot (0)+2=0\) czyli B leży na znalezionej płaszczyźnie.
Ponadto
prosta \(\frac{x+1}{3}= \frac{y-2}{0} = \frac{z-1}{2}\) jest równoległa do wektora \(\left[3,0,2 \right]\),
znaleziona płaszczyzna jest prostopadła do wektora \(\left[2,7,-3 \right]\)
\(\left[2,7,-3 \right] \circ \left[3,0,2 \right]=0\)
zatem znaleziona płaszczyzna jest równoległa do prostej .
Odpowiedź, którą podajesz byłaby dobra gdyby płaszczyzna miała być równoległa do prostej \(\frac{x+1}{3}= \frac{y-2}{0} = \frac{z-1}{1}\)
Zadanie 2 poprawię jak mnie natchnie .

No to mnie natchnęło. Ale wynik mam ciut inny niż kerajs:.
\(\vec{v}= \left[x,y,1 \right]\) wektor normalny szukanej płaszczyzny.
Trzeba aby:
1) \(\vec{v} \perp \vec{AB}\)
2) \(\angle \left( \vec{v}, \left[1,1,-1 \right]\right) = \frac{ \pi }{3}\)
\(\vec{AB} = \left[ -1,0,1\right]\)
czyli
\(\begin{cases} -x+0+1=0\\x+y-1=\cos \frac{ \pi }{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=1\\y= \frac{\sqrt{6} }{2} \end{cases}\)
szukana płaszczyzna ma równanie \(x+\frac{\sqrt{6} }{2} y+z+D=0\), przy czym \(1+D=0\) czyli
odpowiedź: \(x+\frac{\sqrt{6} }{2} y+z-1=0\)

radagast pisze: \(\vec{v}= \left[x,y,1 \right]\) wektor normalny szukanej płaszczyzny.

Przypuszczam, ze wcześniej został sprawdzony i odrzucony wektor normalny typu: \(\vec{v}= \left[x,y,0 \right]\)

radagast pisze: \(\begin{cases} -x+0+1=0\\x+y-1=\cos \frac{ \pi }{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \end{cases}\)

Dlaczego długość \(\vec{v}\) to \(\sqrt{2}\), a nie \(\sqrt{2+y^2}\) ?


PS

radagast pisze: ale zadanie 1 jest ok:
(...)
Odpowiedź, którą podajesz byłaby dobra gdyby płaszczyzna miała być równoległa do prostej \(\frac{x+1}{3}= \frac{y-2}{0} = \frac{z-1}{1}\)

Spójrz na treść zadania.

No spojrzałam :

franco11 pisze: \(\frac{x+1}{3}= \frac{y-2}{0} = \frac{z-1}{2}\)

Postscriptum było do franco11, aby sprawdził treść przepisanego zadania.

A właściwa treść postu dla Ciebie gdyż:
\(\left[1,1,-1 \right] \circ \left[1, \frac{ \sqrt{6} }{2},1 \right] = \sqrt{3} \sqrt{1+ \frac{6}{4}+1 }\cos \alpha \\
\frac{ \sqrt{6} }{2}= \frac{ \sqrt{3} \sqrt{14} }{2} \cos \alpha \\
\alpha \neq \frac{ \pi }{3}\)
a tam wskazałem miejsce generujące błędne rozwiązanie.

Zadania są dobrze przepisane

@franco11
Wobec tego błąd jest w książce/skrypcie/inna opcja , gdyż zadanie 1 jest poprawnie rozwiązane.

@radagast
Mam nadzieję, że Cię nie uraziłem wskazując nieprawidłowe rozwiązanie.

radagast pisze:No to mnie natchnęło.
\(\vec{v}= \left[x,y,1 \right]\) wektor normalny szukanej płaszczyzny.
Trzeba aby:
1) \(\vec{v} \perp \vec{AB}\)
2) \(\angle \left( \vec{v}, \left[1,1,-1 \right]\right) = \frac{ \pi }{3}\)

To był świetny pomysł, lecz wkradł się błąd rachunkowy:
\(\begin{cases} -x+0+1=0\\x+y-1=\cos \frac{ \pi }{3} \cdot \sqrt{x^2+y^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=1\\y= \frac{1 }{2} \sqrt{2+y^2} \sqrt{3} \end{cases}\)
\(4y^2=3(2+y^2) \wedge y>0\\
y= \sqrt{6} \\
\pi \ : \ \ 1(x-1)+ \sqrt{6}(y-0)+1(z-0)=0\\
\pi \ : \ \ x+ \sqrt{6}y+z-1=0\)