Znalezc rownanie plaszczyzny

[dandon223]

Znalezc rownanie plaszczyzny zawierajaca prosta l: x-y+1=0 , x-z-1+0 .
i ktorej odleglosc od poczatku ukladu wspolrzednych jest rowna 1.

Najpierw zrobilem rownanie na pek plaszczyzn:
x(A+B) + y(-A) + z(-B) +A - B =0
Teraz uzywam wzoru na odleglosc od punktu.
(A-B)^2 = (A+B)^2 +A^2 +B^2

I dalej nie wiem co zrobic bo rownanie ma 2 niewiadome.

[panb]

Da się to ogarnąć.
\((A-B)^2 = (A+B)^2 +A^2 +B^2 \iff A^2+B^2=-4AB\)

• Tu na chwile przerywamy, bo potrzebna dyskusja o zerze.
  Gdyby \(A=0 \So d= \frac{|B|}{|B|\sqrt2}= \frac{ \sqrt{2} }{2} \neq 1\).
  Podobnie z B=0. Wobec tego jeśli ta odległość ma być równa 1, to \(AB \neq 0\)

Wracamy \(A^2+B^2\neq 0 \So A^2+B^2=-4AB/:AB \iff \frac{A}{B}+ \frac{B}{A}=-4\)
Podstawiając \(\frac{A}{B}=t\) otrzymujemy \(t^2+4t+1=0 \iff t=\sqrt3-2 \vee t=-\sqrt3 -2\)
Weźmy \(\frac{A}{B}=\sqrt3-2 \So A=B(\sqrt3-2)\) i po wstawieniu do równania płaszczyzny dostajemy
\(B(\sqrt3-1)x+B(2-\sqrt3)y -Bz+B(\sqrt3-3)=0\), co po podzieleniu przez B daje

\((\sqrt3-1)x+(2-\sqrt3)y-z+\sqrt3-3=0\) - równanie pierwszej płaszczyzny.

Drugą nietrudno znaleźć - DYI.
P.S. Z jakiego wzoru na pęk płaszczyzn korzystałeś - mi wyszedł inny, bardziej zakręcony.

[dandon223]

Z ksiazki Algebra dla studentow Nabialka. Strona 182. Prosta l: x+2y-3z+4=0 , x-3y+2z -1 =0 , to pek plaszczyzn ma rownanie
A(x+2y-3z+4) + B(x-3y+2z-1) = 0 (przyklad z ksiazki , nie do zadania )

Dzieki, trzeba bylo jedno od drugiego wyznaczyc poprostu , ehh