rząd macierzy

[enta]

Znajdź rząd macierzy w zależności od wartości parametru rzeczywistego p: \(\begin{bmatrix} p & -p & 1 &-p \\ -2& 2 &-2 & 2\\ 3 &p& 3& p\\p &1& p& 1 \end{bmatrix}\)

[panb]

\(\begin{bmatrix} p & -p & 1 &-p \\ -2& 2 &-2 & 2\\ 3 &p& 3& p\\p &1& p& 1 \end{bmatrix}\)
Trzeba (o ile się da) doprowadzić do postaci schodkowej. Mnie się do schodkowej nie udało.
Przeprowadzam operacje na kolumnach, bo wyglądają podobnie.
\(\begin{bmatrix} p & -p & 1 &-p \\ -2& 2 &-2 & 2\\ 3 &p& 3& p\\p &1& p& 1 \end{bmatrix} \to \begin{vmatrix}k_2+k_1\\ k_3-k_1\\ k_4+k_1 \end{vmatrix} \to \begin{bmatrix} p & 0 & 1-p &0 \\ -2& 0 &-0 & 0\\ 3 &p+3& 0& p+3\\p &p+1& 0& p+1\end{bmatrix} \to \begin{vmatrix} k_4-k_2\end{vmatrix} \to \begin{bmatrix} p & 0 & 1-p &0 \\ -2& 0 &0 & 0\\ 3 &p+3& 0& 0\\p &p+1& 0& 0\end{bmatrix}\)
Wykreślamy ostatnią kolumnę i otrzymujemy \(\begin{bmatrix} p & 0 & 1-p \\ -2& 0 &0 \\ 3 &p+3& 0\\p &p+1& 0\end{bmatrix}\)
Teraz widać, że rząd wyjściowej macierzy jest nie większy niż 3.

[panb]

Liczymy wyznaczniki minorów powstałych po usunięciu kolejno jednego wiersza.
Po usunięciu pierwszego wiersza

• \(M_1= \begin{vmatrix} -2& 0 &0 \\ 3 &p+3& 0\\p &p+1& 0\end{vmatrix}=0\), bo jest kolumna samych zer.

Po usunięciu drugiego wiersza

• \(M_2= \begin{vmatrix} p & 0 & 1-p \\ 3 &p+3& 0\\p &p+1& 0\end{vmatrix}=p^3-p^2-3p+3=(p-1)(p^2-3)\)

Po usunięciu trzeciego wiersza

• \(M_3= \begin{vmatrix}p & 0 & 1-p \\ -2& 0 &0 \\ 3 &p+3& 0 \end{vmatrix}=2(p^2+2p-3)=2(p-1)(p+3)\)

Zatem rząd macierzy jest równy 3 jeśli \(p\in \rr \bez\{1\}\).
Dla \(p= \pm \sqrt3 \vee p=-3\) jeden z minorów \(M_2,\,\, M_3\) jest niezerowy i rząd pozostaje równy 3.

Co jest w przypadku, gdy p=1 dowiesz się wstawiając do macierzy \(\begin{bmatrix} p & 0 & 1-p \\ -2& 0 &0 \\ 3 &p+3& 0\\p &p+1& 0\end{bmatrix}\)

W razie problemów - daj znać.

[radagast]

Liczymy wyznaczniki minorów

"Minor" to już jest wyznacznik. Powinno być " liczymy minory"...