Równania

[karolo48]

Rozwiąż poniższe równania i nierówności
a)\(2^{3x+1}-2=\sqrt{2^{3x}+2}\)
b)\(\frac{10}{(x+1)(x+3)} \ge \frac{-6}{x(x^{2}+4x+3)}\)
c)\(2|x-2|+|3-x|<7\)

[Galen]

a)
\(2^{3x+1}-2= \sqrt{2^{3x}+2}/()^2\\2^{6x+2}-4\cdot2^{3x+1}+4=2^{3x}+2\)
\(4 \cdot (2^{3x})^2-8 \cdot 2^{3x}+4=2^{3x}+2\;\;\;\;podstaw\;\;\;\;2^{3x}=t\;\;i\;\;\;t>0\\4t^2-8t+4=t+2\\4t^2-9t+2=0\\t_1= \frac{1}{4}=2^{-2}\;\;\;\; \So \;\;\;\;\;2^{3x}=2^{-2}\;\;\; \So \;\;\;3x=-2\;\;\;to\;\;x_1=- \frac{2}{3}\\t_2=2\;\; \So \;\;\;2^{3x}=2^1\;\;\;\; \So \;\;3x=1\;\;to\;\;x_2= \frac{1}{3}\)

[Galen]

b)
\(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\)
\(\frac{10}{(x+1)(x+3)}\ge \frac{-6}{x(x+1)(x+3)}\;\;\;\;\;x \neq 0\;\;i\;\;x \neq -1\;\;\;i\;\;\;x \neq -3\)
\(\frac{10x+6}{x(x+1)(x+3)} \ge 0\\x(10x+6)(x+1)(x+3) \ge 0\)
\(x_1=-3\\x_2=-1\\x_3=- \frac{3}{5}\\x_4=0\)
Narysuj krzywą znaków poczynając od prawej strony od góry kolejno przez 0,potem przez -3/5,dalej przez -1 i przez -3 wracasz do góry.
Wykres jest nad osią ,gdy...
\(x\in(- \infty ;-3) \cup (-1;- \frac{3}{5}) \cup (0;+ \infty )\)

[Galen]

c)
\(|x-2|= \begin{cases} x-2\;\;\;x\ge 2\\-x+2\;\;\;\;x<2\end{cases}\)
\(|3-x|= \begin{cases} 3-x\;\;\;\;x\le 3\\-3+x\;\;\;x>3\end{cases}\)
\(I\\
x<2\\2(-x+2)+3-x<7\\-3x<0\\x>0\;\;\;\; \So \;\;\;\;x\in (0;2)\\II\\
x\in <2;3>\\2(x-2)+3-x<7\\x<8\;\;\; \So \;x\in<2;3>\)
\(III\\x>3\\2(x-2)-3+x<7\\3x<14\\x<4 \frac{2}{3}\;\;\;\; \So \;\;\;\;x\in (3;4 \frac{2}{3})\)
Sumujesz otrzymane zbiory rozwiązań
\(x\in(0;4 \frac{2}{3})\)

[radagast]

a)
\(2^{3x+1}-2= \sqrt{2^{3x}+2}/()^2\\2^{6x+2}-4\cdot2^{3x+1}+4=2^{3x}+2\)
\(4 \cdot (2^{3x})^2-8 \cdot 2^{3x}+4=2^{3x}+2\;\;\;\;podstaw\;\;\;\;2^{3x}=t\;\;i\;\;\;t>0\\4t^2-8t+4=t+2\\4t^2-9t+2=0\\t_1= \frac{1}{4}=2^{-2}\;\;\;\; \So \;\;\;\;\;2^{3x}=2^{-2}\;\;\; \So \;\;\;3x=-2\;\;\;to\;\;x_1=- \frac{2}{3}\\t_2=2\;\; \So \;\;\;2^{3x}=2^1\;\;\;\; \So \;\;3x=1\;\;to\;\;x_2= \frac{1}{3}\)

Warto jeszcze zauważyć , że \(x=- \frac{2}{3}\) odpada, bo wtedy lewa strona równania jest ujemna, a prawa dodatnia
(Podnoszenie stronami równania do kwadratu jest ryzykowne).