Nierówności exp oraz ln. (korekta rozwiązań)

[kamyk2222]

Witam, mam problem z kilkoma nierównościami, prosiłbym o wskazówkę i naprowadzenie na rozwiązanie.
1.
\(e^{ \sqrt{1- \ln x}} < x \\ \\

D:
1- \ln x \ge 0 \\
- \ln x \ge -1 \\
\ln x < 1 \\
x < e \\

Rozwiazanie: \\
\frac {e^1}{e^{\sqrt{\ln x}}} < x \\
e < x * e^ \sqrt {\ln x} | * \ln \\
1 < \ln x * \sqrt {\ln x}\)
I dalej poprawnie?

2. \(e^{-x^{2}} < \ln (e+x^{2}) \\\)
3. \(arctg(1+x^{2}) > \ln (sinx)\)

[kerajs]

1.
\(e^{ \sqrt{1- \ln x}} < x \\ \\

D:
1- \ln x \ge 0 \\
- \ln x \ge -1 \\
\ln x < 1 \\
x < e\)

Raczej:
\(D:\\
\begin{cases} 1- \ln x \ge 0 \\ x>0 \\ e^0<x\end{cases}\)

\(Rozwiazanie: \\
\frac {e^1}{e^{\sqrt{\ln x}}} < x \\
e < x * e^ \sqrt {\ln x} | * \ln \\
1 < \ln x * \sqrt {\ln x}\)
I dalej poprawnie?

Fatalnie!
\(e^{ \sqrt{1- \ln x}} < x \\
\ln e^{ \sqrt{1- \ln x}} < \ln x \\
\sqrt{1- \ln x}< \ln x \\
1- \ln x< ( \ln x)^2\)
Pozostaje rozwiązać nierówność kwadratową.

2. \(e^{-x^{2}} < \ln (e+x^{2})\)

obie strony są parzyste więc rozpatruję tylko nieujemne x-sy.
\(e^{-0^{2}} = \ln (e+0^{2})=1\)
dla dodatnich x-ów lewa strona maleje, a prawa rośnie. Rozwiązaniem jest \(x \in \rr \bez \left\{ 0\right\}\)

3. \(arctg(1+x^{2}) > \ln (sinx)\)

a) oblicz dziedzinę
b) jakie wartości przyjmuje strona lewa, a jakie prawa?

[kamyk2222]

1.
\(e^{ \sqrt{1- \ln x}} < x \\ \\

D:
1- \ln x \ge 0 \\
- \ln x \ge -1 \\
\ln x < 1 \\
x < e\)

Raczej:
\(D:\\
\begin{cases} 1- \ln x \ge 0 \\ x>0 \\ e^0<x\end{cases}\)

Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd
\(e^{0}<x\) ?

[kamyk2222]

1. \(e^{3x} * arctg(3+x^{2}) \le -2\) nie mam pomysłu jak się za to zabrać, zrobiłbym | * ln, zostanie 3x * ln(arctg()+2) < 0 i tak dalej?
2. \(arctg(1+x^{2}) > \ln sinx\) -> tożsamościowe? dziedzina arctg "pokrywa" dziedzinę arcsin, dobrze myślę? czy jak to wytłumaczyć w poprawny sposób?

[kamyk2222]

Nadal aktualne, potrzebuje tych dwóch ostatnich przykładów, proszę o pomoc.

[radagast]

1. \(arctg(3+x^{2})\)

czy to jest acustangens, czy acuscotangens ?

[radagast]

Nie ma znaczenia! I tak jest sprzeczna

[kerajs]

Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd
\(e^{0}<x\) ?

W nierówności:
\(e^{ \sqrt{1- \ln x}} < x\)
wykładnikiem e jest pierwiastek stopnia parzystego, czyli liczba nieujemna, więc lewa strona nierówności nigdy nie będzie mniejsza niż \(e^0\) (co jest równe 1). Prawa strona ma być większa od lewej i stąd ograniczenie o które pytasz.

1. \(e^{3x} * arctg(3+x^{2}) \le -2\) nie mam pomysłu jak się za to zabrać, zrobiłbym | * ln, zostanie 3x * ln(arctg()+2) < 0 i tak dalej?
2. \(arctg(1+x^{2}) > \ln sinx\) -> tożsamościowe? dziedzina arctg "pokrywa" dziedzinę arcsin, dobrze myślę? czy jak to wytłumaczyć w poprawny sposób?

Jak pewnie zauważyłeś nierówności z tego tematu są nierozwiązywalne algebraicznie (prócz pierwszego przykładu). Jednak funkcje i ich argumenty są tak dobrane aby móc określić rozwiązanie na podstawie wykresów lub zbioru wartości tych funkcji.

\(e^{3x} \arctg (3+x^{2}) \le -2\)
Dziedziną jest R.
\(e^{3x}\) jest zawsze dodatnie. Argument arkusa tangensa jest tu niemniejszy niż 3, więc zbiór jego wartości to: \(\left\langle \arctg 3, \frac{ \pi }{2} \right\rangle\) czyli także wyłącznie liczby dodatnie. Dlatego dodatnia lewa strona (jako iloczyn liczb dodatnich) nigdy nie będzie mniejsza niż ujemna strona prawa. Nierówność nie ma rozwiązania.

\(\arctg (1+x^{2}) > \ln \sin x\)
Tylko arkus sinus i arkus kosinus wpływa na dziedzinę. Tutaj na dziedzinę wpływa wyłącznie logarytm.
\(D:\\
\sin x>0 \So x \in \left( k2 \pi , \pi +k2 \pi \right)\)
Wartości strony lewej:
\(\arctg (1) \le \arctg (1+x^{2})<\arctg ( \infty )\\
\frac{ \pi }{4 } \le \arctg (1+x^{2}) < \frac{ \pi }{2}\)
Wartości strony prawej:
\(\ln 0^+ < \ln \sin x \le \ln 1\\
- \infty < \ln \sin x \le 0\)
Jak widać lewa strona jest zawsze większa od prawej więc rozwiązaniem jest każdy możliwy argument, czyli
\(x \in \left( k2 \pi , \pi +k2 \pi \right)\)


PS
Przegapiłem wczoraj Twoją odpowiedź. Sorki.