czy zbiór V jest przestrzenią liniową nad ciałem K

[dandon223]

a) V = R[x] z dodawaniem wielomianów i mnożeniem wielomianu przez element ciała K = R.
A z mnożeniem przez element ciała K = C?

Zrobilem to tak , prosilbym o sprawdzenie czy wogule dobrze to rozumiem , bo to jest dla mnie nowy temat.

Najpierw sprawdzam czy jest okreslone dzialanie zewnetrzne. Czyli: f: K x V ---> V Jak dodaje sie liczbe rzeczywista do rzeczywistej to otrzymuje sie liczbe rzeczywista, tak samo z mnozeniem , wiec to sie zgadza.

Potem musze sprawdzic czy V jest wogule grupa przemienna:
łącznosc: dodawanie i mnozenie wielomianow jest laczne, tylko nie wiem jak to zapiisac, jakies dwa wielomiany a i b , tak?
element neutralny to wielomian staly o wartosci 1(dla mnozenia , a dla dodawnia, to 0) , tak? bo 1*x = x*1 = x , gdzie x to jakis wielomian
element odwortny to x*y = 1 czyli y= 1/x(dla ,mnozenia) a dla dodawnia wielomian przeciwny
przemiennosc : tez widac ,bo niewazne co najpierw do siebie dodamy czy mnozymy to bedzie to samo x*y=y*x

teraz dopiero mozemy sprawdzac te 4 warunki na przestrzen liniowa ,czyli: (dla a,b nalezacego do K oraz X,Y nalezacego do V)
1) (a+b)X = aX + bX , (a+b)*(a0 +a1x+a2x^2+....+anx^n) =a(a0+a1x+a2x^2+....+anx^n) +b(a0+a1x+a2x^2 +... + anx^n)
2) a(X+Y) = aX +aY, tutaj tez prawda
3) (a*b)*X = a*(b*X) , ab(a0+a1x+a2x^2+...+anx^n) = a(ba0+ba1x+ab2^2+...+banx^n)
4) 1*X = X (1 to element neutralny dzialania *), 1(a0+a1x+a2x^2+.....anx^n) = a0+a1x+a2x^2+...+anx^x

Czy to o to w tym wszystkim chodzi? A z mnożeniem przez element ciała K = C to nie poniewaz nie jest okreslone dzialanie zewnetrzne, bo wielomian rzeczywisty pomnozony przez liczbe zespolona do nam wielomian zespolony,tak?