Wyznacz macierz X Sprawdzenie

[kacperus98]

Proszę o sprawdzenie czy wynik się zgadza.

Oblicz macierz X z równania:

\(AX − A = 2X\)
gdzie
\(\)\[\(\mathbf{A} =
\left| \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
1 & 0 & 5
\end{array} \right|\)\]

\(AX - A = 2X \\
AX - 2X = A \\
X(A -2J) = A \\
X = (A-2J)^(-1)*A\) (nawias A-2J jest do potęgi -1)

teraz od macierzy A odjąłem macierz \(\)\[\(\mathbf{A} =
\left| \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array} \right|\)\]

I obliczyłem macierz odwrotną czyli:

(A do potęgi -1)
\(\)\[\(\mathbf{A^(-1)} = \frac{1}{9}
\left| \begin{array}{ccc}
9 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
-3 & 0 & 3
\end{array} \right|\)\]

Macierz X wyszła:

\(\)\[\(\mathbf{X} =
\left| \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\
0 & \frac{15}{9} & 0 \\
\frac{-6}{9} & 0 & \frac{15}{9}
\end{array} \right|\)\]

Nie wiem czy w ogóle robiłem to w dobrej kolejności, znając siebie wiem, że coś zrobiłem nie tak. Z góry dziękuję za pomoc.

[kerajs]

\(AX - A = 2X \\
AX - 2X = A \\
X(A -2J) = A\)

Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Powinno być:
\(AX - A = 2X \\
AX - 2X = A \\
(A -2J)X = A\)

\(X(A -2J) = A \\
X = (A-2J)^(-1)*A\) (nawias A-2J jest do potęgi -1)[/tex]

Jeśli mnożysz równanie macierzowe musisz mnożyć każdą ze stron równania od tej samej (lewej lub prawej) strony.
Tu jednak Twój drugi błąd przypadkowo doprowadza do poprawnego równania.
\(AX - A = 2X \\
AX - 2X = A \\
(A -2J)X = A \\
(A -2J)^{-1}(A -2J)X = (A -2J)^{-1} A \\
X = (A -2J)^{-1} A\)

teraz od macierzy A odjąłem macierz \(\)\[\(\mathbf{A} =
\left| \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array} \right|\)\]

Raczej
\(\)\[\(\mathbf{2J} =
\left| \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array} \right|\)\]

\(\)\[\(\mathbf{A^(-1)} = \frac{1}{9}
\left| \begin{array}{ccc}
9 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
-3 & 0 & 3
\end{array} \right|\)\]

Raczej
\(\)\[\(\mathbf{(A-2J)^{-1}} = \frac{1}{9}
\left| \begin{array}{ccc}
9 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
-3 & 0 & 3
\end{array} \right|\)\]

Macierz X wyszła:

\(\)\[\(\mathbf{X} =
\left| \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\
0 & \frac{15}{9} & 0 \\
\frac{-6}{9} & 0 & \frac{15}{9}
\end{array} \right|\)\]

Dobrze.

Można ja uprościć:
\(\)\[\(\mathbf{X} =
\left| \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\
0 & \frac{5}{3} & 0 \\
\frac{-2}{3} & 0 & \frac{5}{3}
\end{array} \right|\)\]

[kacperus98]

wielkie dzięki, już rozumiem.