równanie rozniczkowe

[kate84]

Znajdz rozwiazanie rownania rózniczkowego \(\frac{dy}{dx}+5y=5x^2+1\) spełniające warunek poczatkowy \(y(0)=2\)

[kerajs]

\(y'+5y=0\\
y_o=Ce^{-5x}\\
y_s=Ax^2+Bx+C\\
...\\
y_s=x^2+ \frac{-2}{5}x+ \frac{7}{25}\\
y= y_o+y_s=Ce^{-5x} +x^2+ \frac{-2}{5}x+ \frac{7}{25}\\
2=C+ \frac{7}{25 } \So C= \frac{43}{25}\\
y= \frac{43}{25}e^{-5x} +x^2+ \frac{-2}{5}x+ \frac{7}{25}\)

[kate84]

\(y_s=x^2+ \frac{-2}{5}x+ \frac{7}{25}\\\)

Skąd to?

[kerajs]

Sądziłem, że sama wykonasz obliczenia i wstawisz je w wykropkowane miejsce.
Przewiduję całkę szczególną w postaci \(y_s=Ax^2+Bx+C\). Liczę z niej pochodną: \(y'_s=2Ax+B\) . Obie wartości wstawiam do równania niejednorodnego:
\(2Ax+B+5(Ax^2+Bx+C) =5x^2+1\).
Nieznane współczynniki wylicza się dowolną metodą . Choćby przez porównanie wielomianów:
\(\begin{cases} 5A=5 \\ 2A+5B=0 \\ B+5C=1 \end{cases}\)

PS
Oczywiście, to równanie można rozwiązać innymi metodami. Nie wiem co znasz, więc zamieszczam takie, które (ja się mi wydaje) najszybciej wstukam w edytor.

[Robakks]

Ciekawe jak można by tu wykorzystać algebrę inaczej niż do przewidywania
Gdyby to było równanie liniowe wyższego rzędu lub układ równań różniczkowych to co innego