liczby zespolone

[kate84]

Zilustruj zbiory na płaszczyznie zespolonej:
\(A= \left\{z \in C:|\frac{z-4}{z+1}|>1 \right\}\)
oraz
\(B= \left\{z \in C: Arg \frac{i}{i-z}= \frac{4}{3} \pi \right\}\)

[kerajs]

Zilustruj zbiory na płaszczyznie zespolonej:
\(A= \left\{z \in C:|\frac{z-4}{z+1}|>1 \right\}\)

\(|z-4|>|z+1|\)
to półpłaszczyzna ograniczona od lewej strony symetralną odcinka o końcach 4+i0 oraz -1+i0

Zilustruj zbiory na płaszczyznie zespolonej:
\(B= \left\{z \in C: Arg \frac{i}{i-z}= \frac{4}{3} \pi \right\}\)

\(z \neq i\\
\frac{i}{i-z}= \frac{-i}{z-i}= \frac{-i}{a+i(b-1)}=\frac{-i(a-i(b-1))}{a^2+(b-1)^2}=\frac{1-b-ia}{a^2+(b-1)^2}\\
\tg \alpha = \frac{-a}{1-b} \wedge \alpha = \frac{4 \pi }{3} \\
\sqrt{3} =\frac{-a}{1-b}\\
b= \frac{ \sqrt{3} }{3} a+1\)

[kate84]

No ale co dalej? To B tak ma zostać? Jak to narysować?

[kerajs]

Jeśli wolisz z=x+iy zamiast z=a+ib to prosta (będąca zbiorem poszukiwanych z-etów) ma równanie:
\(y= \frac{ \sqrt{3} }{3} x+1\)

Zapomniałem w rozwiązaniu dopisać założenia:
\(-a<0 \wedge 1-b<0\\
a>0 \wedge b>1\)
co po zmianie oznaczeń daje założenia:
\(x>0 \wedge y>1\)
które przycinają prostą do półprostej bez punktu początkowego.