prosta prostopadła

[kate84]

Dana jest prosta \(l:\)\(\\\begin{cases}x=2+3t\\y=3+3t\\z=-1-3t\end{cases}\) oraz płaszczyzna \(\pi :ax-y+z-6=0\):
a). dla jakich wartosci parametru a prosta l jest prostopadła do płaszczyzny \(\pi\)?
b).dla jakich wartości parametru a prosta l jest równoległa do płaszczyzny \(\pi\)? w tym przypadku wyznacz odległośc prostej l od płaszczyzny \(\pi\) oraz prostą k symetryczną do prostej l względem płaszczyzny \(\pi\).

[kerajs]

a)
\(\vec{n}= \alpha \vec{k}\)
\([a,-1,-1]= \alpha [3,3,-3]\)
\(\begin{cases} a=3 \alpha \\ -1=3 \alpha \\-1=(-3) \alpha \end{cases}\)
Układ jest sprzeczny więc nie istnieje wartość parametru a dla której prosta jest prostopadła do płaszczyzny.

b)
\(\vec{n}\circ \vec{k}=0\\
[a,-1,-1]\circ [3,3,-3]=0\\
3a-3+3=0\\
a=0\)

[kate84]

Przepraszam mój błąd. Poprawiłam znak w plaszczyznie

[kerajs]

Więc dla zmienionych wartości sprawdź analogicznie prostopadłość i równoległość.

dokończenie b)
1)
Napisz równanie prostej (nazwę ją m) prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez (2,3,-1)
2)
wyznacz punkt przebicia (nazwę go Q) płaszczyzny przez prostą m
3)
oblicz \(|PQ|\)
4)
\(\vec{PQ} = \vec{QP'}\)
5)
Napisz równanie prostej k równoległej do l, i przechodzącej przez P'.

Jakie wyniki otrzymałaś?

[kate84]

a). a=-1
b). a=2
Tak?

[kate84]

1). m ma postać :
x=2+2t
y=3-t
z=-1+t

Tak?

[kate84]

2). (4,2,0)
Tak?

[kate84]

3). \(\sqrt{6}\)?

[kate84]

4). P'=(6, 1,1,)
Tsk?

[kerajs]

Wszystko policzyłaś poprawnie. Brawo.

Pozostaje jeszcze pkt 5) , czyli napisanie obrazu prostej l w symetrii płaszczyznowej.

[kate84]

I tu mam problem, pomożesz?

[kerajs]

Prosta l jest równoległa do płaszczyzny więc jej obraz także będzie do nich równoległy, ale przechodzi przez P'. Stąd prosta k ma równanie:
\(\begin{cases} x=6+3t\\y=1+3t\\z=1-3t\end{cases}\)

[kate84]

I to koniec zadania??

[kerajs]

Tak.
...............