płaszczyzny

[kate84]

Dane są plaszczyzny:
\(\pi _1: -x+y-2z=0\)
\(\pi _2: x-3y+3z=0\)
\(\pi _3: x+y+z=2\)

a). Wyznaczyć prosta \(l_1\) bedaca przecięciem płaszczyzn \(\pi_1 \ i \ \pi_3\) oraz prosta \(l_2\) bedaca przecięciem płaszczyzn \(\pi_2 \ i \ \pi_3\)
b)Wyznaczyc odległość miedzy prostymi \(l_1 \ i \ l_2\)
c)Podać punt \(C=(x_0,y_0,z_0)\) lezacy na prostej \(l_1\), taki, ze \(z_0=0\), a następnie wyznaczyć punkt \(C"\) symetryczny do punktu \(C\) względem prostej \(l_2\).

[radagast]

\(\pi _1 \perp \left[-1,1,-2 \right]\)
\(\pi _3 \perp \left[1,1,1 \right]\)
\(\left[-1,1,-2 \right] \times \left[1,1,1 \right]= \left[3,-1,-2 \right]\) jest wektorem równoległym do szukanej prostej (\(l_1\))
Wyznaczmy teraz dowolny punkt z tej prostej:
\(\begin{cases}-x+y-2z=0\\x+y+z=2 \end{cases}\)
niech np \(z=0\). Wtedy
\(\begin{cases}-x+y=0\\x+y=2 \end{cases}\)
\(x=1\\y=1\)
zatem \(\left(1,1,0 \right)\) leży na obu płaszczyznach, jest więc szukanym punktem.
Przedstawienie parametryczne prostej \(l_1\) to \(p(t)= \left(3t+1,-t+1,-2t \right)\)

Teraz zróbmy tak:

postępując analogicznie znajdź przedstawienie parametryczne części wspólnej płaszczyzn \(\pi _2\) i \(\pi _3\) (prostej \(l_2\)),( w razie problemów pytaj), a potem zrobimy dalszą część zadania.
Powodzenia

[kate84]

Wyszło mi \(p(t) =(-6t+1.5,2t+0.5,4t)\)
Tak? I co dalej?

[radagast]

Dobrze Ci wyszło. Ja to jednak nieco uproszczę do postaci \(q(t)= \left(3t,-t+1,-2t+1 \right)\) będzie łatwiej liczyć, a to jest ta sama prosta .
I teraz:
1) zauważ, że proste \(l_1\) i \(l_2\) są równoległe.
2) płaszczyzna \(3x-y-2z=0\) jest do nich prostopadła.
3) przetnij obie proste z tą płaszczyzną (tą z podpunktu 2) ) i napisz co Ci wyszło.
pewnie już wiesz co dalej ?

[kate84]

Skad się wzięła ta inna postać q(t)?
I nie wiem jak zrobić 3).?

Chodzi o podstawienie?
Dla \(l_1\) wyszło mi \(t=- \frac{1}{7}\), a dla \(l_2\) \(t= \frac{3}{14}\)

[radagast]

Skad się wzięła ta inna postać q(t)?

Ty znalazłaś wektor równoległy do prostej \(\left[ -6,2,4\right]\). I bardzo dobrze. A on jest równoległy do \(\left[3,-1,-2 \right]\), prawda ?
Ty znalazłaś punkt na prostej \(\left( 1.5,0.5,0\right)\), a mi się bardziej podoba \(\left( 0,1,1\right)\). Też leży na obu płaszczyznach prawda ?

[radagast]

Chodzi o podstawienie?
Dla \(l_1\) wyszło mi \(t=- \frac{1}{7}\), a dla \(l_2\) \(t= \frac{3}{14}\)

Mi też tak wyszło. Liczy się dość podle. Ostateczny wynik to chyba \(\frac{3 \sqrt{2} }{14}\).

Należy nam się medal za liczenie

[kate84]

Super, tylko mi jeszcze powiedz skąd ten ostatni wynik?

[kate84]

A podpunkt b i c?

[radagast]

b) właśnie zrobiłyśmy. Odległość między prostymi to \(\frac{3 \sqrt{2} }{14}\), bo
\(p(- \frac{1}{7})= \left(\frac{4}{7},\frac{6}{7},\frac{2}{7} \right)\) i to jest punkt przecięcia \(l_1\) z płaszczyzną.
\(q( \frac{3}{14})= \left(\frac{9}{14},\frac{11}{14},\frac{8}{14} \right)\) i to jest punkt przecięcia \(l_2\) z płaszczyzną.
No a odległość tych punktów to właśnie ...
UWAGA:
zamieniłam nazwę przedstawienia parametrycznego prostej \(l_2\) z \(p(t)\) na \(q(t)\). Myślę, ze tak jest czytelniej.

[radagast]

c)Podać punt \(C=(x_0,y_0,z_0)\) lezacy na prostej \(l_1\), taki, ze \(z_0=0\), a następnie wyznaczyć punkt \(C"\) symetryczny do punktu \(C\) względem prostej \(l_2\).

\(C=p(0)= \left(1,1,0 \right)\)
1) poprowadź płaszczyznę prostopadłą do \(l_1\) przechodzącą prze punkt C.
2) przetnij tę płaszczyznę z \(l_2\). Oznacz punkt przecięcia C'.
3) znajdź taki punkt C'', że \(\vec{C'C''} = \vec{CC'}\).
Melduj o kłopotach.

[kate84]

Nie powinno być czasem \(p(- \frac{1}{7})= \left(\frac{4}{7},\frac{8}{7},\frac{2}{7} \right)\)
Wtedy ta odległość będzie \(\frac{ \sqrt{10} }{14}\)
Dobrze czy nie?

[radagast]

Nie powinno być czasem \(p(- \frac{1}{7})= \left(\frac{4}{7},\frac{8}{7},\frac{2}{7} \right)\)
Wtedy ta odległość będzie \(\frac{ \sqrt{10} }{14}\)
Dobrze czy nie?

Masz rację , pomyliłam się .
\(p(- \frac{1}{7} )= \left(3 \cdot \left( - \frac{1}{7} \right) +1,-\left( - \frac{1}{7} \right)+1,-2 \cdot \left( - \frac{1}{7} \right) \right)= \left( -\frac{3}{7} +1,\frac{1}{7} +1, \frac{2}{7} \right)= \left( \frac{4}{7}, \frac{8}{7} , \frac{2}{7} \right)\)

[kate84]

Ok spoko, teraz jak zacząć podpunkt c punkt 1?

[radagast]

Masz wektor prostopadły do płaszczyzny , masz punkt, przez który przechodzi... w czym problem ?