Różnica Pierwiastków trzeciego stopnia
: 16 maja 2018, 12:56
Jak dojść do poniższego rozwiązania w tym równaniu ? :
\(\sqrt[3]{ 2 - \sqrt{5} } + \sqrt[3]{ 2 + \sqrt{5} }\)
\(\sqrt[3]{ 2 - \sqrt{5} } + \sqrt[3]{ 2 + \sqrt{5} }\)
1)
\(\sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} }= \frac{1}{2}\sqrt[3]{16+ 8\sqrt{5} } + \frac{1}{2} \sqrt[3]{16- 8\sqrt{5} } =\\= \frac{1}{2}\sqrt[3]{(1+ \sqrt{5})^3 } + \frac{1}{2} \sqrt[3]{(1- \sqrt{5})^3 }=1\)
2)
\(\sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} }=x\\
(\sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} })^3=x^3\\
2+ \sqrt{5} +3\sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } \sqrt[3]{2- \sqrt{5} }( \sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} })+2- \sqrt{5} =x^3\\
4-3x=x^3\\
(x-1)(x^2+x+4)=0\\
x=1\)