Punkt symetryczny

[kate84]

\(P=(2, 3,-1)\) względem prostej
\(x=1+2t\)
\(y=2+4t\)
\(z=-3-t\)

[radagast]

\(P=(2, 3,-1)\) względem prostej
\(x=1+2t\)
\(y=2+4t\)
\(z=-3-t\)

Pewnie są na to jakieś wzory ale ja ich nie znam , więc "na piechotę":

\(\left[ 2,4,-1\right]\)-wektor kierunkowy podanej prostej
\(P=(2, 3,-1)\)
\(Q=(1+2t,2+4t,-3-t)\)
\(T=(a,b,c)\) -szukany punkt.

I teraz tak:
\(\vec{TQ}= \vec{QP}\)
\(\vec{PT} \perp \left[ 2,4,-1\right]\),
co daje następujący układ równań:
\(\begin{cases}1+2t-a=1-2t\\2+4t-b=1-4t\\-3-t-c=2+t\\2(2-a)+4(b-3) -(c+1)=0\end{cases}\)
Rozwiązać , wyznaczyć a,b,c, udzielić odpowiedzi (dasz radę ?)

[panb]

Albo szukamy na prostej takiego punktu \(Q=(1+2t,2+4t,-3-t)\), żeby wektor \(\vec{PQ}\)był prostopadły do prostej.
Będzie to rzut punktu P na tę prostą.
Z warunku prostopadłości: \(\vec{PQ} \circ [2,4,-1]=0\).
Po znalezieniu punktu Q, punkt P' symetryczny względem prostej to będzie taki punkt, że Q będzie środkiem odcinka P'P.

[panb]

\(\vec{PQ}=[2t-1,4t-1,-2-t ]\So \vec{PQ} \circ [2,4,-1]=0 \iff 4t-2+16t-4+2+t=0 \iff t= \frac{4}{21}\)

No i tu się zniechęciłem, bo to paskudna liczba. Może się pomyliłem, a może tak ma być. Rozumowanie jest OK.

[panb]

Wygląda, że wszystko jest OK.
\(Q= \left( \frac{29}{21} , \frac{58}{21} , -\frac{67}{21} \right)\)

• \(P'= \left( \frac{16}{21} , \frac{53}{21} , -\frac{113}{21} \right)\)

FUJ!!

[radagast]

Z moich rachunków wychodzi ładniej: \(t=0, T= \left(0,1,-5 \right)\)-szukany punkt,
bo:
\(\begin{cases}1+2t-a=1-2t\\2+4t-b=1-4t\\-3-t-c=2+t\\2(2-a)+4(b-3) -(c+1)=0\end{cases} \iff\)\(\begin{cases}4t=a\\8t+1=b\\-2t-5=c\\2a-4b+c=-9\end{cases} \iff\)\(\begin{cases}4t=a\\8t+1=b\\-2t-5=c\\8t-32t-4-2t-5=-9\end{cases} \iff\)


\(\begin{cases}t=0\\a=0\\b=1\\c=-5\\\end{cases}\)