objetosc czworoscianu

[kate84]

Punkty A=(1,2,2), B=(-1,1,2), C=(2,1,-1), D=(3,-1,0) są wierzchołkami czworościanu. Napisac równanie wysokości tego czworościanu opuszczonej z wierzchołka A oraz wyznaczyć spodek tej wysokości (pkt przeciecia z podstawą). Obliczyć objętosc tego czworościanu.

[radagast]

\(\vec{BC} = \left[ 3,0,-3\right]\)
\(\vec{BD} = \left[ 4,-2,-2\right]\)
\(\vec{BC} \times \vec{BD}= \left[ -6,-6,-6 \right] \parallel \left[1,1,1 \right] \perp \pi(BCD)\)
Równanie wysokości opuszczonej z wierzchołka A : \(p(t)= \left(t+1,t+2,t+2 \right)\)
Równanie płaszczyzny \(\pi(BCD)\) (podstawy czworościanu):
\(x+y+z+D=0\)
\(-1+1+2+D=0 \So D=-2\)
\(x+y+z-2=0\)
Spodek wysokości:
\(t+1+t+2+t+2-2=0 \So t=-1\)
\(S= \left( 0,1,1\right)\)
Objętość spróbuj sama.

[kate84]

Objetosc wyszła 6?

[kate84]

a skąd tam się pojawił wektor \(\left[ 1,1,1\right]\)?

[radagast]

\(\vec{BC} \times \vec{BD}= \left[ -6,-6,-6 \right] \parallel \left[1,1,1 \right] \perp \pi(BCD)\)

iloczyn wektorowy jest prostopadły do obu mnożonych wektrów, jest więc prostopadły do płaszczyzny przez nie wyznaczonej.

[kate84]

rozumiem, chodzi mi tylko o sam wektor \(\left[1,1,1 \right]\) on wynika z prostopadłości czy jakos sie go oblicza?

[radagast]

Oblicza się go. To iloczyn wektorowy wektorów rozpinających płaszczyznę. I rzeczywiście jest prostopadły do płaszczyzny.

[kate84]

A można wiedziec jak sie go oblicza? podobnie jak \(\left[ -6,-6,-6\right]\)?

[radagast]

https://www.youtube.com/watch?v=Z0O_et75pcc

[kate84]

Ja dobrze wiem jak sie to wylicz, tylko nie wiem które tutaj mam zabrac wektory by to wyszło \(\left[ 1,1,1\right]\)?

[radagast]

\(\vec{BC} = \left[ 3,0,-3\right]\)
\(\vec{BD} = \left[ 4,-2,-2\right]\)
\(\vec{BC} \times \vec{BD}= \left[ -6,-6,-6 \right] \parallel \left[1,1,1 \right] \perp \pi(BCD)\)

przecież Ci napisałam
\(\left[ 3,0,-3\right] \times \left[ 4,-2,-2\right] = \left[ -6,-6,-6 \right]\)

[kate84]

tak, to do tego już doszłam, ale chodzi mi o ten wektor \(\left[ 1,1,1\right]\) -skąd on się wziął?

[radagast]

Jest równoległy do wektora \(\left[ -6,-6,-6 \right]\).
Jeśli to Cię tak męczy to równanie płaszczyzny może być : \(-6x-6y-6z+12=0\)

[kate84]

Chodzi mi o to, że nie rozumiem skąd się wziął ten wektor[1,1,1]. Wymyślony czy jakoś obliczony?
Jesli mamy go wymyślić to ok, ale jeśli jakoś obliczyć to chciałabym wiedzieć jak?

[radagast]

Chodzi mi o to, że nie rozumiem skąd się wziął ten wektor[1,1,1]. Wymyślony czy jakoś obliczony?
Jesli mamy go wymyślić to ok, ale jeśli jakoś obliczyć to chciałabym wiedzieć jak?

Ja po prostu skróciłam wektor \(\left[6,6,6 \right]\) będące iloczynem wektorowym wektorów rozpinających płaszczyznę, a więc do niej prostopadły.