równanie prostej

[kate84]

Wyznaczyc równanie parametryczne prostej l przechodzacej przez punkty A i D, gdzie D jest dowolnym punktem o odległości 3 od płaszczyzny \(\pi : -2x+y+2z+3=0\) takim, że B jest rzutem prostokątnym punktu D na płaszczyznę \(\pi\).

[radagast]

a jakim punktem jest B i jakim punktem jest A ?

[kate84]

Punkt \(A=(2,-1,1)\), D jest dowolnym punktem o odległości 3 od płaszczyzny

[radagast]

a jakim punktem jest B?

[kate84]

\(B=(3,-3,3)\)

[radagast]

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu D:
(są takie dwa)
\(\vec{BD} \perp \pi \So \vec{BD} \parallel \left[-2,1,2 \right]\)
a skoro wektor \(\left[-2,1,2 \right]\) ma długość 3 to \(\vec{BD}=\left[-2,1,2 \right] \vee \vec{BD}=\left[2,-1,-2 \right]\)
No to \(D= \left(1,-2,5 \right) \vee D= \left(5,-4,1\right)\)
\(1^o\)
\(\vec{DA} = \left[ 1,1,-4\right]\)
równanie parametryczne prostej AD to \(p(t)= \left(t+2,t-1,-4t+1 \right)\)
\(2^o\)
\(\vec{AD} = \left[ 3,-3,0\right]\)
równanie parametryczne prostej AD to \(p(t)= \left(3t+2,-3t-1,1 \right)\)

[kate84]

Skąd te współrzedne D się wzieły?

[kate84]

ok juz wiem

[kate84]

ajak wyznaczyc miarę kąta miedzy prostą l i płaszczyzną \(\pi\)?

[radagast]

Zrzutować l na płaszczyznę \(\pi\) (to będzie po prostu proste AB, bo i A, i B należą do \(\pi\)) i szukać kąta między wektoramin kierunkowymi prostych AB i AD. Dasz radę, czy pokazać jak ?

[kate84]

Bardzo proszę pokazać.

[radagast]

\(\vec{u} =\vec{AB} = \left[ 1,-2,2\right]\\
\vec{v}=\vec{AD} = \left[- 1,-1,4\right]\)
\(\cos \alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}= \frac{1 \cdot (-1)+(-2) \cdot (-1)+2 \cdot 4}{3 \cdot \sqrt{18} } = \frac{9}{9 \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
Dla drugiego punktu D spróbuj sama (wychodzi tyle samo ).