Równania zespolone

[enta]

Znając pewne pierwiastki wielomianu \(w(z)\) oblicz wszystkie pozostałe
a)\(w(z)=z^4-6z^3+18z^2-30z+25, z_₁=2+i\)
b) \(w(z)=z^6-2z^5+5z^4-6z^3+8z^2-4z+4, z_1=i, z_2=- \sqrt{2} i\)

[kerajs]

Wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma sprzężone pierwiastki zespolone.
Stąd masz:

a)
\(w(z)=z^4-6z^3+18z^2-30z+25, \\
z_1=2+i \ \ , \ z_2=2-i\)
b)
\(w(z)=z^6-2z^5+5z^4-6z^3+8z^2-4z+4\\
z_1=i, \ \ , \ z_3=-i \ \ , \ z_2=- \sqrt{2} i \ \ , \ z_4= \sqrt{2}i\)

Wykonaj odpowiednie dzielenie i policz pierwiastki z otrzymanych trójmianów.

[radagast]

Zrobię Ci a):
Na podstawie informacji Kerajsa mamy już dwa pierwiastki \(z_1=2+i \ \ , \ z_2=2-i\)
Zatem \(w(z)\) podzieli się przez \((z-z_1)(z-z_2)=(z-(2+i))(z-(2-i))=z^2-4z+5\)
i rzeczywiście :
\(z^4-6z^3+18z^2-30z+25=(z^2-4z+5)(z^2-2z+5)\)
wystarczy teraz rozwiązać równanie \(z^2-2z+5=0\) w liczbach zespolonych
\(\Delta =16\\ \sqrt{ \Delta }=4i\)
\(z_3= \frac{2-4i}{2}=1-2i\)
\(z_4= \frac{2+4i}{2}=1+2i\)
Jak zwykle, moje rachunki należy sprawdzić
b) analogicznie

[enta]

A możesz mi chociaz jeden wielomian podzielić? Będę bardzo wdzięczna

[radagast]

przecież podzieliłam !
\((z^4-6z^3+18z^2-30z+25):(z^2-4z+5)=z^2-2z+5\)

[enta]

Przepraszam wyświetlila mi się odpowiedź tylko Kerajsa, ok dziękuję za pomoc