Jądro i obraz przekształcenia liniowego

[marcin0248]

Nie wiem czy tak to dokładnie tak powinno być, czy na tym polega wyznaczanie jądra i obrazu przekształcenia, dlatego proszę was o pomoc.
\(T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+5x_2+4x_3+x_4, 3x_1+x_2+2x_3+x_4, 5x_1+4x_2+5x_3+2x_4)\)

1. ker T:
przyrównuję do 0
\(\begin{cases} x_1+5x_2+4x_3+x_4=0\\
3x_1+x_2+2x_3+x_4=0\\
5x_1+4x_2+5x_3+2x_4=0\end{cases}\)

sprowadzam tak, żeby przedstawić to za pomocą 2 x, czyli:
\(T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2x_2+x_3,x_2,x_3,-7x_2-5x_3)=x_2(2,1,0,-7)+x_3(1,0,1,-5)\)

i czy jądro to wtedy
\(ker T = lin{(2,1,0,-7),(1,0,1,-5)}\) ?

2. Im T
\(x_1(1,3,5)+x_2(5,1,4)+x_3(4,2,5)+x_4(1,1,2)\)
\(Im T=lin{(1,3,5),(5,1,4),(4,2,5),(1,1,2)}\)

tworzę macierz i próbuję zerować
\(\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\
5 & 1 & 4 \\
4 & 2 & 5 \\
1 & 1 & 2\\\end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0\\\end{bmatrix}\)

i ostatecznie wychodzi
\(ImT=lin{(-3,1,0),(2,0,1)}\)

Czy tak to powinno wyglądać?