Znajdź wzór przekształcenia liniowego

[marcin0248]

Znajdź wzór na T, jeśli T: \(\rr ^2-> \rr ^3\) jest przekształceniem liniowym takim, że :
\(T(3,4)=(3,5,7)\) \(T(4,5)=(4,7,9)\)
Na zajęciach robiliśmy tylko z T((1,1,0)= i T((0,1,1)).
Ktoś podpowie jak to zacząć?

[lambdag]

Np:
\(T(x,y) = (ax + by, cx + dy, ex + fy)\)
Dla \(T(3,4) = (3a+4b, 3c+4d, 3e+4f)\)
Dla \(T(4,5) = (4a+5b, 4c+5d, 4e+5f)\)
I otrzymujemy układy:

\(\begin{cases}3a+4b = 3 \\ 4a+5b = 4 \end{cases}\)
I analogicznie reszta wyznaczasz a, b, c , d, e,f i podstawiasz do przepisu czyli:
\(T(x,y) = (ax + by, cx + dy, ex + fy)\)
I otrzymujesz wzór..

Jeśli wszystko dobrze obliczyłem to powinno wyjść tak:
\(T(x,y) = (x,3x-y, \frac{67}{3}x-15y)\)

[marcin0248]

Czyli
\(\begin{cases}3a+4b = 3 \\ 4a+5b = 4 \\ 3c+4d = 4 \\ 4c+5d = 5\end{cases}\)
A co przyrównać do trzecich współrzędnych \(3e+4f\) i \(4e+5f\)?

[lambdag]

Do tych układów równań musisz porównań z \((3,5,7)\) i \((4,7,9)\)
Czyli będzie inaczej
\(\begin{cases} 3a+4b=3 \\ 4a+5b=4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 3c+4d = 5 \\ 4c+5d = 7\end{cases}\)
\(\begin{cases} 3e+4f = 7 \\ 4e+5f = 9\end{cases}\)