Dowód z macierzą

[maturzystana100]

Udowodnij, że \(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^n\) = \(\begin{bmatrix}1&n \\ 0&1\end{bmatrix}\).
Czy mógłbym prosić o jakąś wskazówkę?

[radagast]

indukcyjnie.

[maturzystana100]

indukcyjnie.

Nie mieliśmy jeszcze indukcji na studiach

[radagast]

Ale powinna być w liceum

[maturzystana100]

Ale powinna być w liceum

W takim razie po prostu nie wiem, jak się za to zadanie zabrać

[radagast]

prawdę mówiąc, bez indukcji , to ja też nie wiem .

[maturzystana100]

prawdę mówiąc, bez indukcji , to ja też nie wiem .

no dobrze, a więc z indukcją - jak się za to zabrać? małe poszukiwania w internecie pokazały mi, żeby najpierw udowodnić poprawność równości przez podstawienie dowolnej liczby \(\in \nn\), np. niech n = 1. następnie to samo zrobić dla jakiejś liczby k takiej, że k \(\ge\) n. no i właśnie w tym momencie nie wiem, co w zasadzie z tym robić.

[radagast]

Udowodnij, że \(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^n\) = \(\begin{bmatrix}1&n \\ 0&1\end{bmatrix}\).
Czy mógłbym prosić o jakąś wskazówkę?

To już nie jest wskazówka tylko kompletny dowód:
Dla \(n=1\):
\(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^1=\begin{bmatrix}1&1 \\ 0&1\end{bmatrix}\) OK
założenie indukcyjne:
\(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}1&n \\ 0&1\end{bmatrix}\)
teza:
\(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^{n+1}=\begin{bmatrix}1&n+1 \\ 0&1\end{bmatrix}\)
DOWÓD
\(L=\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^{n+1}=\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^{n} \times \begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}=^{zał.\ ind.}=\begin{bmatrix}1&n \\ 0&1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&n+1 \\ 0&1\end{bmatrix}=P\)
CBDO

[maturzystana100]

Udowodnij, że \(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^n\) = \(\begin{bmatrix}1&n \\ 0&1\end{bmatrix}\).
Czy mógłbym prosić o jakąś wskazówkę?

To już nie jest wskazówka tylko kompletny dowód:
Dla \(n=1\):
\(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^1=\begin{bmatrix}1&1 \\ 0&1\end{bmatrix}\) OK
założenie indukcyjne:
\(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}1&n \\ 0&1\end{bmatrix}\)
teza:
\(\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^{n+1}=\begin{bmatrix}1&n+1 \\ 0&1\end{bmatrix}\)
DOWÓD
\(L=\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^{n+1}=\begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}^{n} \times \begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}=^{zał.\ ind.}=\begin{bmatrix}1&n \\ 0&1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}1&1 \\0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&n+1 \\ 0&1\end{bmatrix}=P\)
CBDO

Dziękuję za fatygę i poświęcenie mi swojego czasu A i przy okazji nie dość, że sam dowód rozwalony, to poznałem użycie indukcji - to również z całą pewnością nie pójdzie w las