Wektory - udowodnij.

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dytr
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2017, 20:02
Podziękowania: 18 razy
Płeć:

Wektory - udowodnij.

Post autor: dytr »

Udowodnij że wektory \({(1,1),(-1,1)} \in \rr ^2\)
Wskazówka:
1) Wykaż, że wektory są liniowo niezależne
2) każdy wektor \((a,b) \in \rr ^2\) jest ich liniową kombinacją.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Sądząc po wskazówce to polecenie jest "wykaż,że wektory \({[1,1],[-1,1]}\) tworzą bazę przestrzeni \(\rr^2\)"
dytr
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2017, 20:02
Podziękowania: 18 razy
Płeć:

Post autor: dytr »

Tak, mój błąd. Dokładnie chodzi tutaj o wykazanie, że powyższe wektory tworzą bazę przestrzeni \(\rr ^2\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Wektory - udowodnij.

Post autor: radagast »

dytr pisze:Udowodnij że wektory \({(1,1),(-1,1)} \in \rr ^2\)
Wskazówka:
1) Wykaż, że wektory są liniowo niezależne
\([1,1]x+[-1,1]y=[0,0] \iff \begin{cases}x-y=0\\x+y=0 \end{cases} \iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases}\)
co świadczy o liniowej niezależności wektorów \([1,1]\ i\ [-1,1]\)
dytr pisze:2) każdy wektor \((a,b) \in \rr ^2\) jest ich liniową kombinacją.
\([a,b]=[1,1]x+[-1,1]y \iff \begin{cases} a=x-y\\b=x+y\end{cases}\)
\(W= \begin{vmatrix} 1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2 \neq 0\), czyli układ równań \(\begin{cases} a=x-y\\b=x+y\end{cases}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli wektor \([a,b]\) jest kombinacją liniową wektorów \([1,1]\ i\ [-1,1]\)
ODPOWIEDZ