Przestrzeń wektorów.

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dytr
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2017, 20:02
Podziękowania: 18 razy
Płeć:

Przestrzeń wektorów.

Post autor: dytr »

Określ, czy wektor (4,6,6) jest liniową kombinacją wektorów \(v1=(1,2,-1)\) oraz \(v2=(3,5,2)\).

Dopiero zacząłem ten temat i nie wiem, czy dobrze rozumiem.

Układam równanie:
\((4,6,6)=a(1,2,-1) + b(3,5,2)\)

Z powyższego mam układ równań:

\(a + 3b = 4\)
\(2a + 5b = 6\)
\(-a + 2b = 6\)

Z układu robię macierz:

\(\left| \begin{array}{ccc}
1 & 3 & 4 \\
2 & 5 & 6 \\
-1 & 2 & 6
\end{array} \right|

\to

\left| \begin{array}{ccc}
1 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 18
\end{array} \right|\)


Rozwiązywałem sposobem eliminacji Gaussa, druga macierz jest po przekształceniach.

Tak więc mogę z tego wnioskować, że:
\(b=2\) oraz \(a=-2\)

Czyli ostatecznym wynikiem jest:
\((4,6,6)=-2 \cdot (1,2,-1) + 2 \cdot (3,5,2)\)


Mój sposób rozwiązywania jest prawidłowy?
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Prawidłowy, aczkolwiek układ równań można rozwiązać choćby podstawianiem.
Brak wniosku, że wskazany wektor jest kombinacją liniową wektorów v1,v2.
dytr
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2017, 20:02
Podziękowania: 18 razy
Płeć:

Post autor: dytr »

Nie do końca rozumiem.
Mam napisać wniosek typu: Wektory v1, v2 tworzą bazę w przestrzeni liniowej \(R^3\)?
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Przestrzeń wektorów.

Post autor: kerajs »

Ależ nIe.
Masz jedynie stwierdzić na podstawie swoich obliczeń
dytr pisze: czy wektor (4,6,6) jest liniową kombinacją wektorów \(v1=(1,2,-1)\) oraz \(v2=(3,5,2)\).
PS
Te trzy (powyższe) wektory nie tworzą bazy w \(R^3\)
ODPOWIEDZ