Prostą zapisać w postaci parametrycznej

[M4rin3s]

Prostą l :
\(\begin{cases}x+y-3=0\\ -y+z-1=0 \end{cases}\)
zapisać w postaci parametrycznej.

Wiem, że trzeba rozwiązać ten układ równań, tak żeby było równanie z trzema niewiadomymi i parametrem t.
Ale jak?

[radagast]

eee, ja bym tego nie rozwiązywała.
\(x+y-3=0\) to jest płaszczyzna prostopadła do wektora \(\left[1,1,0 \right]\)
\(-y+z-1=0\) to jest płaszczyzna prostopadła do wektora \(\left[0,-1,1 \right]\)
zatem wektor kierunkowy szukanej prostej to \(\left[1,1,0 \right] \times \left[0,-1,1 \right]= \left[1,-1,-1 \right]\)
Teraz wystarczy "zgadnąć" jeden punkt należący do prostej (czyli jedno z rozwiązań układu równań): \(\left(1,2,3 \right)\)
i mamy przedstawienie parametryczne:
\(\begin{cases}x=t+1\\y=-t+2\\z=-t+3 \end{cases}\)

[radagast]

można też tak (chyba prościej)
\(\begin{cases}x+y-3=0\\ -y+z-1=0 \end{cases}\)
przyjmijmy \(x=t\)
wtedy \(y=-t+3\),a \(z=-t+4\)
mamy więc przedstawienie parametryczne \(\begin{cases} x=t\\y=-t+3\\z=-t+4\end{cases}\)
No i to jest ta sama prosta (wbrew pozorom )

[M4rin3s]

Mogę przyjąć t dla dowolnej zmiennej x,y,z ?

[M4rin3s]

A co w odwrotnej sytuacji Prostą \(l : x = 3, y = 2 − 2t, z = t (t ∈ R)\) zapisać w postaci krawędziowej.
Po prostu podstawić do drugiego równania z, za t?

[radagast]

Ja to bym to skomplikowała (po mojemu) i tak:
\(\left[0,-2,1 \right]\) wektor kierunkowy prostej.
On jest prostopadły , n.p. do wektorów \(\left[0,1,2 \right]\) oraz \(\left[1,1,2 \right]\)
No to płaszczyzny z układu równań mogą mieć postać
\(\begin{cases} y+2z+D_1=0\\x+y+2z+D_2=0\end{cases}\)
obie muszą przechodzić przez punkt \(\left(3,2,0 \right)\) (wiesz dlaczego ? )
no to \(D_1=-2,D_2=-5\)
Mamy więc postać krawędziową (jedną z wieeelu możliwych
\(\begin{cases} y+2z-2=0\\x+y+2z-5=0\end{cases}\)
(spieszyłam się , mogłam się pomylić-sprawdź. Jeśli coś nie tak to melduj. ) To na pewno można było jakoś prościej.

[radagast]

Oczywiście , że można prościej, Tak jak pisałeś:
\(l : x = 3, y = 2 − 2t, z = t (t ∈ R)\)
stad po prostu
\(\begin{cases}x=3\\y=2-2z \end{cases}\)
albo ciut porządniej:
\(\begin{cases}x=3\\y+2z=2 \end{cases}\)
i juz... ale o ile mniej zabawy !