Liczby zespolone

[lukash-17]

Dane są liczby \(z_{1}=2−2i \sqrt{3}, z_{2}=−3 + 3i, z_{3}=− \sqrt{6} +i \sqrt{2} .\)
Wyznaczyć:
a)\(z^{23}\)
b)\(\sqrt[3]{z_2}\)
c)\(\sqrt[4]{z_3}\)
d)\(\left( \frac{z_2}{z_3} \right)^2\)
e)miejsca zerowe trójmianu \(z^2+5z+2|z_1|=0\)

[panb]

a) które z?
b) do pierwiastków jest wzór, tylko najpierw trzeba sprowadzić do postaci trygonometrycznej:

• \(z_2=-3+3i \So |z_2|=\sqrt{9+9}=3\sqrt2 \So z_2=3\sqrt2 \left(- \frac{\sqrt2}{2}+ \frac{\sqrt2}{2}i \right)\\
  \cos\varphi=- \frac{\sqrt2}{2},\,\,\,\sin\varphi= \frac{ \sqrt{2} }{2} \So \varphi=180^\circ -45^ \circ \iff \varphi=\pi- \frac{\pi}{4}= \frac{3}{4}\pi\\
  z_2=3\sqrt2 \left(\cos \frac{3}{4}\pi+i\sin \frac{3}{4}\pi\right)\)

c) jak wyżej

d)do kwadratu podnosi się normalnie - z wzorów skróconego mnożenia np. - potem trzeba "usunąć urojoność" z mianownika. Rzecz jasna należy pamiętać, że \(i^2=-1\)

• \(z_2^2=(-3+3i)^2=9-18i-9=-18i\\ z_3^2= \left(-\sqrt6+i\sqrt2 \right)^2=6-2i\sqrt{12}-2=4-4i\sqrt3=4 \left( 1-i\sqrt3\right)\\
  \left( \frac{z_2}{z_2} \right)^2=\ldots= \frac{-18i}{4 \left( 1-i\sqrt3\right)}=- \frac{9i}{ 2 \left( 1-i\sqrt3\right) }=- \frac{9i \left( 1+i\sqrt3\right) }{2\left( 1-i\sqrt3\right)\left( 1+i\sqrt3\right)}= \frac{9\sqrt3}{8}- \frac{9}{8}i\)

e) Normalnie deltą jak równanie kwadratowe z tą różnicą, że pierwiastek z ujemnej liczby też da się wyciągnąć
(np. \(\sqrt{-4}=2i,\quad \sqrt{-5}=i\sqrt5\)). Najpierw oczywiście liczymy \(|z_1|=4\)

Odp.: \(z_1= \frac{-5-i\sqrt7}{2},\,\,\, z_2=\frac{-5+i\sqrt7}{2}\)

[lukash-17]

w punkcie "a"nie ma podane dla którego "z" więc chyba dla każdego
Dzięki wielkie za rozwiązane zadania:)

[lukash-17]

• \(\left(-\sqrt6+i\sqrt2 \right)^2=6-2i\sqrt{12}-2\)

jak to jest przekształcone? skąd się bierze 12 pod pierwsiastkiem?

[lambdag]

Wzór skróconego mnożenia.
\((- \sqrt{6} + i \sqrt{2} )^2 = (- \sqrt{6})^2 - 2 * \sqrt{6} * i \sqrt{2} + (i \sqrt{2})^2 = 6 - 2 \sqrt{12} + i^2*2\)
i^2 = -1;
\(6 - 2 \sqrt{12}i -2\)
Po prostu możesz to potraktować to tak że:
\((i \sqrt{2} - \sqrt{6} )^2\) już widać że to ze wzoru..

[lukash-17]

Czy tutaj można skrócić 18 z 4?

• \(\left( \frac{z_2}{z_2} \right)^2= \frac{-18i}{4 \left( 1-i\sqrt3\right)}=- \frac{9i}{ 2 \left( 1-i\sqrt3\right) }\)

Jeśli tak, to jak tutaj wygląda to przekształcenie, bo nie mogę sobie z tym poradzić znów:/

• \(- \frac{9i \left( 1+i\sqrt3\right) }{2\left( 1-i\sqrt3\right)\left( 1+i\sqrt3\right)}= \frac{9\sqrt3}{8}- \frac{9}{8}i\)

[panb]

Czy tutaj można skrócić 18 z 4?

• \(\left( \frac{z_2}{z_2} \right)^2= \frac{-18i}{4 \left( 1-i\sqrt3\right)}=- \frac{9i}{ 2 \left( 1-i\sqrt3\right) }\)

Jeśli tak, to jak tutaj wygląda to przekształcenie, bo nie mogę sobie z tym poradzić znów:/

• \(- \frac{9i \left( 1+i\sqrt3\right) }{2\left( 1-i\sqrt3\right)\left( 1+i\sqrt3\right)}= \frac{9\sqrt3}{8}- \frac{9}{8}i\)

Jest mnożenie, można skracać.

\(- \frac{9i \left( 1+i\sqrt3\right) }{2\left( 1-i\sqrt3\right)\left( 1+i\sqrt3\right)}= \frac{-9i+9\sqrt3}{2(1+3)}=...\)

Cyba zapominasz, że \(i \cdot i=-1\), czy co?