przestrzenie liniowe

[Krystek97]

Zbadać liniową niezależność podanych wektorów (czy liniowo niezależne czy liniowo zależne)
a)\(1,cos^2x,cos2x w C(R)\)
b)\(x^2+2,3x-1,2x^2+6,2x+3\) w przestrzeni R[x](przestrzeń wielomianów stopnia nie większego niż 2)
prosze o pomoc gdyż nie wiem jak je sprawdzić

[Krystek97]

ale w jaki sposób mam te liczby znaleźć ,nie rozumiem ,mogłabyś wytłumaczyć?>

[radagast]

Zbadać liniową niezależność podanych wektorów (czy liniowo niezależne czy liniowo zależne)
a)\(1,cos^2x,cos2x w C(R)\)

\(a \cdot 1+b \cdot \cos^2x+c\cdot \cos 2x=0\)
\(a +b \cos^2x+c\cos^2x-c\sin^2x=0\)
\(a +(b+c) \cos^2x-c\sin^2x=0\)
niech \(a=1,b=-2,c=1\)
wtedy
\(a \cdot 1+b \cdot \cos^2x+c \cdot \cos 2x=0\)
oznacza, że
\(1-2 \cdot \cos^2x+1 \cos 2x=0\),
a to jest tożsamość,
( bo \(\cos 2x=2\cos^2x-1\) )
mimo, że \(\left( 1,-2,1\right) \neq \left(0,0,0 \right)\)
czyli liniowo zależne
Uwaga: można również przyjąć inne \(a,b,c\) byle \(a \cdot 1+b \cdot \cos^2x+c \cdot \cos 2x=0\) i \(\left( 1,-2,1\right) \neq \left(0,0,0 \right)\)