Liczby zespolone - zadania.

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dytr
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2017, 20:02
Podziękowania: 18 razy
Płeć:

Liczby zespolone - zadania.

Post autor: dytr »

Cześć,
Mam do rozwiązania pięć zadań z liczb zespolonych. Większość ruszyłem, niektóre są do sprawdzenia, a niektóre wymagają rozwiązania. Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki.

1) Uprość: \(\frac{(2+i)^3+(3+2i)^2}{(1+i)^2(2-3i)}\)

Rozwiązanie (do sprawdzenia):

\(\frac{(2+i)^3+(3+2i)^2}{(1+i)^2(2-3i)}= \frac{8+12i+6i^2+i^3+9+12i+4i^2}{(1+2i+i^2)(2-3i)}= \frac{8+12i-6-i+9+12i-4}{2+4i+2i^2-3i-6i^2-3i^3}= \frac{7+23i}{6+4i} \cdot \frac{6-4i}{6-4i}= \frac{134+110i}{52}= \frac{67}{26}+ \frac{55}{26}i\)


2) Zinterpretuj graficznie i podaj odpowiedź na płaszczyźnie zespolonej.
\(|(3+4i)z+5|=20\)



3. Rozwiąż:

\(\frac{2+i}{z-1+4i}= \frac{1-i}{2z+i}\)


Rozwiązanie (do sprawdzenia):
Podstawiam: \(z=x+yi\) i mnożę na krzyż

\((2+i)(2x+2yi+i)=(x+yi-1+4i)(1-i)\)
\(4x+4yi+2i+2xi+2yi^2+i^2=x+yi-1+4i-xi-yi^2+i-4i^2\)
\(4x+4yi+2i+2xi-2y-1=x+yi-1+4i-xi+y+i+4\)
\(4x-2y-1+4yi+2i+2xi=x+y+3+yi+5i-xi\)
\(4x-2y-1=x+y+3\)
\(2x+4y+2=-x+y+5\)

\(3x-3y=4 \\
3x+3y=3\)


Z powyższego układu wychodzi:
\(x= \frac{7}{6}\)
\(y=- \frac{3}{18}\)

Odpowiedź: \(z= \frac{7}{6}- \frac{3}{18}i\)

4) Przedstaw liczbę w postaci trygonometrycznej i algebraicznej.
\((1+i \sqrt{3})^31\)


Zacząłem liczyć i się tutaj pogubiłem

\(|z|= \sqrt{1^2+( \sqrt{3})^2 }= \sqrt{4}=2\)

Z warunku początkowego mam:
\(\cos \varphi =1\)
\(\sin \varphi= \sqrt{3}\)

Tutaj się zatrzymałem.

5) Rozwiąż:
\(z^2+2(1-i)z-1-2i=0\)

Tutaj ponownie podstawiam: \(z=x+yi\)

\((x+yi)^2+(2-2i)(x+yi)-1-2i=0\)
\(x^2+2xyi+y^2i^2+2x+2yi-2xi-2yi^2-1-2i=0\)
\(x^2+2xyi-y^2+2x+2yi-2xi+2y-1-2i=0\)

Z powyższego wyszyły mi dwa równiania:
\(x^2-y^2+2x+2y-1=0\)
\(2xy+2y-2x+2y-2=0\)
Nie mogę sobie poradzić z uproszczeniem tego i rozwiązaniem.
dytr
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2017, 20:02
Podziękowania: 18 razy
Płeć:

Re: Liczby zespolone - zadania.

Post autor: dytr »

Poradziłem sobie już z rozwiązaniem zadań oznaczonych numerami: 1,3,4.

Pozostały tylko te dwa:

2) Zinterpretuj graficznie i podaj odpowiedź na płaszczyźnie zespolonej.
\(|(3+4i)z+5|=20\)

5) Rozwiąż:
\(z^2+2(1-i)z-1-2i=0\)
Tutaj ponownie podstawiam: \(z=x+yi\)

\((x+yi)^2+(2-2i)(x+yi)-1-2i=0\)
\(x^2+2xyi+y^2i^2+2x+2yi-2xi-2yi^2-1-2i=0\)
\(x^2+2xyi-y^2+2x+2yi-2xi+2y-1-2i=0\)

Z powyższego wyszyły mi dwa równiania:
\(x^2-y^2+2x+2y-1=0\)
\(2xy+2y-2x+2y-2=0\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Liczby zespolone - zadania.

Post autor: kerajs »

2)
\(|(3+4i)z+5|=20\\
|(3+i4)(a+ib)+5|=20\\
\sqrt{(3a-4b+5)^2+(4a+3b)^2}=20\\
9a^2-24ab+16b^2+10(3a-4b)+25+16a^2+24ab+9b^2=400\\
a^2+b^2+ \frac{2}{5}(3a-4b)=15\\
(a+ \frac{3}{5} )^2- \frac{9}{25} +(b- \frac{4}{5} )^2- \frac{14}{25}=15\\
(a+ \frac{3}{5} )^2 +(b- \frac{4}{5} )^2=4^2\)


5)
\(z^2+2(1-i)z-1-2i=0\\
\Delta=4\\
z_1= \frac{-2+2i-2}{2}=-2+i\\
z_2= \frac{-2+2i+2}{2}=i\)
ODPOWIEDZ