Witam, dostaliśmy na początek dosyć proste zadania z liczbami zespolonymi. Jedno z nich polega na wyciągnięciu z nich pierwiastka. Przykład : \(\sqrt{8+6i}\)
Zrobiłem coś takiego...
\(\sqrt{9+6i-1} = \sqrt{9+6i+i^2}= \sqrt{(3+i)^2} = |3+i|= \sqrt{3^2+1^2}= \sqrt{10}\)
Popatrzyłem jak ludzie rozwiązują to w internecie... Robią to z układów równań i ostatecznie wychodzi im coś takiego:
\(3+i \vee -3-i\)
Czy mógłbym poprosić o wytłumaczenie zagadnienia? Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Pierwiastek z liczby zespolonej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Jeśli z jest liczba zespoloną, to ma postać:
z=x+yi
gdzie x, y to liczby rzeczywiste
Jeśli \(z=\sqrt{8+6i}\), to \(z^2=8+6i\)
Ale
\(z^2=(x+yi)^2=x^2+2xyi+y^2i^2=x^2-y^2+2xyi\)
Mamy więc:
\(x^2-y^2+2xyi=8+6i\)
czyli- z równości między liczbami zespolonymi musi być
\(\begin{cases}x^2-y^2=8\\2xy=6\end{cases}\)
I trzeba ten układ rozwiązać:
\(x,\ y\neq0\\y=\frac{3}{x}\\x^2-\frac{9}{x^2}=8\ \ /\cdot x^2\\x^4-9=8x^2\\x^4-8x^2-9=0\\x^2=t\\t>0\\t^2-8t-9=0\\\Delta=64+36=100\\t=\frac{8-10}{2}<0\ \vee\ t=\frac{8+10}{2}=9\\x^2=9\\x_1=3\ \vee\ x_2=-3\\y_1=1\ \vee\ y_2=-1\)
Mamy więc 2 rozwiązania:
\(z_1=3+i\ \vee\ z_2=-3-i\)
z=x+yi
gdzie x, y to liczby rzeczywiste
Jeśli \(z=\sqrt{8+6i}\), to \(z^2=8+6i\)
Ale
\(z^2=(x+yi)^2=x^2+2xyi+y^2i^2=x^2-y^2+2xyi\)
Mamy więc:
\(x^2-y^2+2xyi=8+6i\)
czyli- z równości między liczbami zespolonymi musi być
\(\begin{cases}x^2-y^2=8\\2xy=6\end{cases}\)
I trzeba ten układ rozwiązać:
\(x,\ y\neq0\\y=\frac{3}{x}\\x^2-\frac{9}{x^2}=8\ \ /\cdot x^2\\x^4-9=8x^2\\x^4-8x^2-9=0\\x^2=t\\t>0\\t^2-8t-9=0\\\Delta=64+36=100\\t=\frac{8-10}{2}<0\ \vee\ t=\frac{8+10}{2}=9\\x^2=9\\x_1=3\ \vee\ x_2=-3\\y_1=1\ \vee\ y_2=-1\)
Mamy więc 2 rozwiązania:
\(z_1=3+i\ \vee\ z_2=-3-i\)