Zad. 1
\(z^{3}- (1+i)z^{2}+(2+i)z-2=0\)
Nie wiem od czego zacząć.
Chciałam wyłączyć z przed nawias, ale mam wolną 2 więc chyba nic z tego.
Mogę skorzystać a=3 a_{0}=2 tylko mam tu liczbę zespoloną więc chyba też nie bardzo.
Zad. 2
\(z^{2}i-(3-2z)i-4z-2=0\)
Tutaj mogę -(4z-2) potraktować jako c?
wielomian
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Zauważ, że jednym z pierwiastków równania jest z=1:
\(1^3-(1+i)\cdot1^2+(2+i)\cdot1-2=1-1-i+2+i-2=0\)
można więc wyłączyć przed nawias czynnik (z-1):
\(z^3-z^2-iz^2+iz+2z-2=0\\z^2(z-1)-iz(z-1)+2(z-1)=0\\(z-1)(z^2-iz+2)=0 \Leftrightarrow z=1\ \vee z^2-iz+2=0\)
\(\Delta=i^2-8=-1-8=-9\\\sqrt{\Delta}=3i\\z=\frac{i-3i}{2}=-2i\ \vee \ z=\frac{i+3i}{2}=2i\\z=1\ \vee \ z=-2i\ \vee \ z=2i\)
Zauważ, że jednym z pierwiastków równania jest z=1:
\(1^3-(1+i)\cdot1^2+(2+i)\cdot1-2=1-1-i+2+i-2=0\)
można więc wyłączyć przed nawias czynnik (z-1):
\(z^3-z^2-iz^2+iz+2z-2=0\\z^2(z-1)-iz(z-1)+2(z-1)=0\\(z-1)(z^2-iz+2)=0 \Leftrightarrow z=1\ \vee z^2-iz+2=0\)
\(\Delta=i^2-8=-1-8=-9\\\sqrt{\Delta}=3i\\z=\frac{i-3i}{2}=-2i\ \vee \ z=\frac{i+3i}{2}=2i\\z=1\ \vee \ z=-2i\ \vee \ z=2i\)
2.
Niewiadomą jest w równaniu liczba z.
\(z^2i-(3-2z)i-4z-2=0\\iz^2-3i+2iz-4z-2=0\\iz^2+(2i-4)z+(-3i-2)=0\\\Delta=(2i-4)^2-4i(-3i-2)=4i^2-16i+16+12i^2+8i=16i^2-8i+16=-16-8i+16=-8i\\\sqrt{\Delta}=2i\sqrt{2i}\\z=\frac{-2i+4-2i\sqrt{2i}}{2i}=\frac{i(1+\sqrt{2i})+2}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i^2(1+\sqrt{2i})+2i}{i^2}=-2i+\sqrt{2i}+1\ \vee \ \\ \vee z=\frac{-2i+4+2i\sqrt{2i}}{2i}=\frac{i(-1+\sqrt{2i})+2}{i}\cdot\frac{i}{i}=-2i+\sqrt{2i}-1\)
Sprawdź jeszcze, bo mi się już te "i" dwoją w oczach
Niewiadomą jest w równaniu liczba z.
\(z^2i-(3-2z)i-4z-2=0\\iz^2-3i+2iz-4z-2=0\\iz^2+(2i-4)z+(-3i-2)=0\\\Delta=(2i-4)^2-4i(-3i-2)=4i^2-16i+16+12i^2+8i=16i^2-8i+16=-16-8i+16=-8i\\\sqrt{\Delta}=2i\sqrt{2i}\\z=\frac{-2i+4-2i\sqrt{2i}}{2i}=\frac{i(1+\sqrt{2i})+2}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i^2(1+\sqrt{2i})+2i}{i^2}=-2i+\sqrt{2i}+1\ \vee \ \\ \vee z=\frac{-2i+4+2i\sqrt{2i}}{2i}=\frac{i(-1+\sqrt{2i})+2}{i}\cdot\frac{i}{i}=-2i+\sqrt{2i}-1\)
Sprawdź jeszcze, bo mi się już te "i" dwoją w oczach