równanie rózniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
\(y''+2y'+3y=0\\
r^2+2r+3=0\\
\Delta = 4-12=-8=(2i\sqrt{2})^2\\
r_1=\frac{-2-2i\sqrt{2}}{2}=-1-i\sqrt{2}\\
r_2=-1+i\sqrt{2}\\
y=c_1e^{-x}\cos (\sqrt{2}x)+c_2e^{-x}\sin (\sqrt{2}x)\)
przewidujemy rozwiązanie w postaci
\(y=A\cos 2x+B\sin 2x\\
y'=-2A\sin 2x+2B\cos 2x\\
y''=-4A\cos 2x-4B\sin 2x\)
\(y''+2y'+3y=3\cos 2x\\
-4A\cos 2x-4B\sin 2x -4A\sin 2x+4B\cos 2x+3A\cos 2x+3B\sin 2x=3\cos 2x\\
\cos 2x (-4A+4B+3A)+\sin 2x (-4B-4A+3B)=3\cos 2x\\
\begin{cases}4B-A=3\\-4A-B=0\end{cases}\\
A=-\frac{3}{17}\\
B=\frac{12}{17}\)
\(y=c_1e^{-x}\cos (\sqrt{2}x)+c_2e^{-x}\sin (\sqrt{2}x)-\frac{3}{17}\cos 2x+\frac{12}{17}\sin 2x\)
r^2+2r+3=0\\
\Delta = 4-12=-8=(2i\sqrt{2})^2\\
r_1=\frac{-2-2i\sqrt{2}}{2}=-1-i\sqrt{2}\\
r_2=-1+i\sqrt{2}\\
y=c_1e^{-x}\cos (\sqrt{2}x)+c_2e^{-x}\sin (\sqrt{2}x)\)
przewidujemy rozwiązanie w postaci
\(y=A\cos 2x+B\sin 2x\\
y'=-2A\sin 2x+2B\cos 2x\\
y''=-4A\cos 2x-4B\sin 2x\)
\(y''+2y'+3y=3\cos 2x\\
-4A\cos 2x-4B\sin 2x -4A\sin 2x+4B\cos 2x+3A\cos 2x+3B\sin 2x=3\cos 2x\\
\cos 2x (-4A+4B+3A)+\sin 2x (-4B-4A+3B)=3\cos 2x\\
\begin{cases}4B-A=3\\-4A-B=0\end{cases}\\
A=-\frac{3}{17}\\
B=\frac{12}{17}\)
\(y=c_1e^{-x}\cos (\sqrt{2}x)+c_2e^{-x}\sin (\sqrt{2}x)-\frac{3}{17}\cos 2x+\frac{12}{17}\sin 2x\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 
