MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Qbaaa
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 35
Rejestracja: 15 sty 2013, 19:39
Podziękowania: 9 razy
Płeć:

MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO

Post autor: Qbaaa »

Niech A : (0,1), (1,2) oraz B : (1,−1), (1,0). Znajdź taką macierz M, że dla każdego wektora α ∈ \(R^{2}\)
zachodzi: jeśli x1 i x2 są współczynnikami α w bazie A, a y1 i y2 są współczynnikami α w bazie B , to
\(\begin{bmatrix} y1\\y2 \end{bmatrix}=M\begin{bmatrix} x1\\x2 \end{bmatrix}\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Przedstawiamy wektory bazy A w bazie B:
  • \((0,1)=-1 \cdot (1,-1)+1 \cdot (1,0)=(-1,1)_B\\
    (1,2)=-2 \cdot (1,-1)+3 \cdot (1,0)=(-2,3)_B\)
Zapisujemy te współrzędne kolumnami - dostajemy macierz przejścia
  • \(M= \begin{bmatrix} -1&-2\\1&3\end{bmatrix}\)
Sprawdzenie
Niech \(a=(2,2)\in\rr^2\) będzie wektorem w bazie standardowej
  • Wtedy \(a=-2 \cdot (0,1)+2 \cdot (1,2)=(-2,2)_A \So x_1=-2,\,\, x_2=2\\
    a=-2 \cdot (1,-1)+4 \cdot (1,0)=(-2,4)_B \So y_1=-2,\,\,\, y_2=4\\
    M \begin{bmatrix}x_1\\x_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1&-2\\1&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2\\2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2\\4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}y_1\\y_2 \end{bmatrix}\)
ODPOWIEDZ