Dzielniki normalne

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 08:57
Podziękowania: 88 razy

Dzielniki normalne

Post autor: NieRozumiem85 »

Wyznaczyć wszystkie dzielniki normalne grupy D5: {72 stopni, 144 stopni, 216 stopni, 298 stopni, s symetrii}
sebnorth
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 871
Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Otrzymane podziękowania: 415 razy
Płeć:

Post autor: sebnorth »

Treść zadania jest niechlujnie zapisana ale nie o to chodzi.

Mamy grupę dihedralną D5, czyli obroty generowane przez obrót R i symetrie, jedna z nich F. Czyli mamy elementy

\(e, R, R^2, R^3, R^4, F, FR, FR^2, FR^3, FR^4\) i relacje między nimi m.in. :

\(R^5=1, F^2=1, RF = FR^{-1}\)
Podgrupa \(H\) jest podgrupą normalną o ile jest sumą klas sprzężoności elementów grupy. Klasy sprzężoności łatwo wyznaczyć korzystając powyższych relacji są następujące:

\(\{ e\}, \{ R, R^{-1} \}, \{ R^2, R^{-2} \}, \ldots\)

oraz klasa zawierająca wszystkie symetrie

Jeśli H zawiera jakąś symetrię to zawiera je wszystkie oprócz tego musi zawierać jeszcze \(e\) czyli już mamy więcej niż połowę elementów, zatem \(H=D5\)

Jeśli H nie zawiera symetrii to jest podgrupą cyklicznej grupy obrotów
ODPOWIEDZ