Podprzestrzen liniowa

[Qbaaa]

Niech K będzie ustalonym ciałem. Które z poniższych podzbiorów \(K^{4}\) są
podprzestrzeniami liniowymi?
a) {(t, t + 1, 0, 1) : t ∈ K},
b) {(t, u, t + u, t − u) : t, u ∈ K},
c) {(t · u, u, t, 1) : t, u ∈ K},
d) {(t, u, t, u) : t + u = 0 ∧ t, u ∈ K},
e) {(t, u, t, u) : t + u2 = 0 ∧ t, u ∈ K},

rozwiązać każdy podpunkt

[sebnorth]

a) nie jest, wektor \(0\) zerowy nie nalezy:

\((0,0,0,0) = (t,t+1,0,1)\), wtedy \(t=0, t=-1\), sprzeczność

b)

\((t, u, t + u, t − u) = t(1,0,1,1) + u(0,1,1,-1), t,u \in K\) czyli będzie podprzestrzeń generowana przez \(2\) wektory

c)

dla \(t=u=2\) dodajemy wektor \((4,2,2,1)\) do siebie i dostajemy \((8,4,4,2)\) ale \(8 \neq 4\cdot 4\)

d)

\(u=-t, (t,-t,t-t) = t(1,-1,1,-1)\), czyli będzie podprzestrzeń generowana przez 1 wektor

e) tam jest nieczytelnie u2?

[Qbaaa]

Niech K będzie ustalonym ciałem. Które z poniższych podzbiorów \(K^{4}\) są
podprzestrzeniami liniowymi?
a) {(t, t + 1, 0, 1) : t ∈ K},
b) {(t, u, t + u, t − u) : t, u ∈ K},
c) {(t · u, u, t, 1) : t, u ∈ K},
d) {(t, u, t, u) : t + u = 0 ∧ t, u ∈ K},
e) {(t, u, t, u) : t + \(u^2\)= 0 ∧ t, u ∈ K},

rozwiązać każdy podpunkt

[sebnorth]

e)

wektor \((-1,1,-1,1)\) należy do zbioru \(\{(t, u, t, u) : t + u^2= 0 \land t, u ∈ K\}\)

ale jego wielokrotność \((-1) \cdot (-1,1,-1,1)\) nie należy