Układy równań

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 08:57
Podziękowania: 88 razy

Układy równań

Post autor: NieRozumiem85 »

Rozwiąż układy równań:

1.
{ f(x,y)= x^2 - 2xy + 3x = 0
{ g(x,y) = y^2 - 4x =0

2.
{ f(x,y)= xy^2 + y - x = 0
{ g(x,y) = xy - 1 =0

3.
{ f(x,y)= x^2 + y^2 - 2 = 0
{ g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 =0
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Układy równań

Post autor: radagast »

NieRozumiem85 pisze:Rozwiąż układy równań:

1.
{ f(x,y)= x^2 - 2xy + 3x = 0
{ g(x,y) = y^2 - 4x =0
przypuszczam, ze autor zadania miał na myśli coś takiego:
\(\begin{cases} x^2 - 2xy + 3x = 0\\
y^2 - 4x =0 \end{cases}\)

i wtedy :

\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x \left( x-2y+3\right) = 0
\end{cases}\)
(interpretacja geometryczna do tego : para prostych przecinająca parabolę)


czyli:
\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x=0 \vee x-2y+3= 0 \end{cases}\)
a po podstawieniu:

\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x=0 \vee \frac{y^2}{4} -2y+3= 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x=0 \vee y^2 -8y+12= 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x= \frac{ y^2}{4} \\x=0 \vee y=6 \vee y=2 \end{cases}\)
mamy więc trzy pary rozwiązań :
\(\left( 0,0\right); \left(9,6 \right); \left(1,2 \right)\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Układy równań

Post autor: panb »

NieRozumiem85 pisze:Rozwiąż układy równań:
1.
{ f(x,y)= x^2 - 2xy + 3x = 0
{ g(x,y) = y^2 - 4x =0
Z warunku \(y^2-4x=0\) wynika, że rozwiązań należy szukać wśród \(\,\,x\ge0,\,\, \text{ bo }\,\, x=4y^2\)).
\(\begin{cases} x^2 - 2xy + 3x = 0\\y^2 - 4x =0 \end{cases} \iff \begin{cases} y^2=4x\\(x^2-2xy+y^2)-y^2+3x=0\end{cases} \iff \begin{cases}y^2=4x\\(x-y)^2-4x+3x=0 \end{cases}\\
\begin{cases}y^2=4x\\(x-y)^2-x=0 \end{cases} \iff \begin{cases} y^2=4x\\(x-y-\sqrt x)(x-y+\sqrt x)=0\\x\ge0\end{cases} \iff \begin{cases} y^2=4x\\y=x-\sqrt x\\x\ge0\end{cases} \vee \begin{cases}y^2=4x\\y=x+\sqrt x\\x\ge0 \end{cases}\)


Rozwiążę drugi z tych układów, pierwszy zrób samodzielnie jako własny wkład w zadanie.

\(\begin{cases}y^2=4x\\y=x+\sqrt x\\x\ge0 \end{cases} \iff \begin{cases} y=x+\sqrt x\\(x+\sqrt x)^2=4x\\x\ge 0\end{cases} \iff \begin{cases} y=x+\sqrt x\\ x^2+2x\sqrt x+x=4x\\x\ge0 \end{cases} \iff \begin{cases}x\ge0\\y=x+\sqrt x\\x(x+2\sqrt x-3)=0 \end{cases} \iff \\
\iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x\ge0\\ y=x+\sqrt x\\ x-3=-2\sqrt x\end{cases} \iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x\ge0\\y=x+\sqrt x\\(x-3)^2=4x \end{cases} \iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases} x\ge0\\y=x+\sqrt x\\ x^2-10x+9=0\end{cases} \\
\iff \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x=1\\y=2 \end{cases} \vee \begin{cases}x=9\\y=12 \end{cases}\)

Jak łatwo sprawdzić, liczba x=9, nie jest rozwiązaniem równania \(x-3=-2\sqrt x\)
Odp.: Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}y^2=4x\\y=x+\sqrt x\\x\ge0 \end{cases}\) są pary liczb (0,0) i (1,2).

Rozwiąż w podobny sposób drugi układ i w odpowiedzi podaj wszystkie pary liczb spełniające układ równań z zadania 1.
Awatar użytkownika
Matematyk_64
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 549
Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
Lokalizacja: Legnica
Otrzymane podziękowania: 161 razy
Płeć:
Kontakt:

Re: Układy równań

Post autor: Matematyk_64 »

Trzecie można geometrycznie. Mamy tu dwa okręgi współśrodkowe o różnych promieniach, czyli nie przecinające się.
Wniosek sam się nasuwa ;)
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Układy równań

Post autor: panb »

NieRozumiem85 pisze:Rozwiąż układy równań:

2.
{ f(x,y)= xy^2 + y - x = 0
{ g(x,y) = xy - 1 =0
z drugiego równania mamy \(xy=1\). Wtedy pierwsze równanie przyjmie postać \((xy)y+y-x=0 \iff 2y=x\).
Stąd otrzymujemy prosty układ równań \(\begin{cases}x=2y\\xy=1 \end{cases}\)
Do samodzielnego rozwiązania.... :)
ODPOWIEDZ