rozwiazanie ogólne

[kate84]

wyznaczyc rozwiazanie ogólne:
\(\dot{x}=x-y+ \frac{1}{cost}\)
\(\dot{y}=2x-y\)

[panb]

A co tu robi \(\cos t\) ?

[panb]

wyznaczyc rozwiazanie ogólne: \(\dot{y}=2x-y\)

Dawno nie widziałem oznaczenia pochodnej przez \(\dot{y}\). Pewnie masz coś wspólnego z fizyką.

\(\dot{y}-y=2x\)
Najpierw jednorodne: \(\dot{y}-y=0 \iff \dot{y}=y \iff \frac{\dot{y}}{y}=1\\
\int \frac{{dy}}{y}=\int dx \So \ln y=x+c \So y=Ce^x\)
Uzmienniamy stałą, tzn. \(C=C(x)\). Wtedy \(y=C(x)e^x \So \dot{y}=\dot{C}e^x+Ce^x\) i równanie
\(\dot{y}-y=2x\) przyjmuje postać \(\dot{C}s^x+Ce^x-Ce^x=2x \iff \dot{C}e^x=2x \iff \dot{C}=2xe^{-x}\)
Całkując przez części dostajemy \(C(x)=\int2xe^{-x}dx=C_1-2e^{-x}(x+1)\)

Teraz

• \(\,\,\,y=C(x)e^x=(C_1-2e^{-x}(x+1))e^x=C_1e^x-2x-2\)

[kate84]

To był układ równań do rozwiązania

[panb]

To było tak napisać!