Liczby zespolone

[margor]

W której ćwiartce układu wsp. nie leży żadne rozwiązanie równania \(z^3=-3-\sqrt{3}*i\)
Odp. w II ćwiartce
Próbowałem zamienić to na postać trygonometryczną i wyznaczyć 3 pierwiastki ale coś wynik mi zły wychodzi

[Matematyk_64]

Pokaż to do czego już doszedłeś. Wygodniej jest w postaci wykładniczej.

[panb]

\(z=-3-\sqrt3i=2\sqrt3 \left(- \frac{\sqrt3}{2}- \frac{1}{2} i\right)=2\sqrt3(\cos \frac{7}{6}\pi+i\sin \frac{7}{6}\pi)\)

Postępując wg wzoru takiego jednego Francuza, dochodzimy do wniosku, że ... rzeczywiście w II ćwiartce nie ma tego pierwiastka.
Dasz radę?

[Matematyk_64]

\(z^3=-3 - \sqrt{3} i = |z^3|e^{i{\varphi }}\)

\(|z^3|=2\sqrt{3}\)
\(\varphi = \frac{7\pi}{6}\)

\(z^3= 2 \sqrt{3}e^{i{ \frac{7\pi}{6} }}\)

Stąd pierwiastki 3 stopnia:

\(z= \sqrt[3]{2 \sqrt{3}}e^{i {\frac{ \frac{7 \pi }{6}+2k \pi}{3}}}\)

gdzie k=0,1,2
kąty wskazuje ułamek w wykładniku

\(\varphi_0 = \frac{7 \pi }{18} = 70^ \circ\)(pierwsza ćwiartka)
\(\varphi_1 = \frac{7\pi}{18}+ \frac{2\pi}{3} = 190^ \circ\)(trzecia ćwiartka)
\(\varphi_2 = \frac{7\pi}{18}+ \frac{4\pi}{3} = 310^ \circ\)(czwarta ćwiartka)