Wyznaczyć jądra, obrazy oraz ich bazy dla] przekształcenia

[Caroloko]

L:R^3->R^2 L(x,y,z)=(x+y,y+z)

[panb]

\(Ker L= \left\{(x,y,z)\in\rr^3: L(x,y,z)=(0,0) \right\} = \left\{(x,y,z)\in\rr^3: x+y=0,y+z=0\right\}\)
\(\begin{cases} x+y=0\\y+z=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=-y\\z=-y \end{cases}\)
Wobec tego \(Ker L= \left\{(t,-t,t): t\in \rr \right\}\)
\(\left\{ (t,-t,t):t\in\rr\right\}= \left\{t(1,-1,1),\,\,t\in\rr \right\}=lin \left\{ (1,-1,1)\right\}\), więc \(dim(Ker L)=1\)
Zatem \(Ker L= \left\{(t,-t,t): t\in \rr \right\}\), a bazą jądra jest wektor (1,-1,1)
Uwaga: jądrem jest linia prosta w \(\rr^3\) określona równaniem parametrycznym \(\begin{cases}x=y\\y=-t\\z=t \end{cases}\)

Aby znaleźć obraz przekształcenia L, znajdujemy obraz bazy przestrzeni \(\rr^3\) w tym przekształceniu.

• \(L(1,0,0)=(1+0,0+0)=(1,0)\\
  L(0,1,0)=(1,1)\\
  L(0,0,1)=(0,1)\)

Wektory (1,0), (1,1) oraz (0,1) nie są liniowo niezależne: (1,1)=(1,0)+(0,1), więc bazą obrazu \(Im L\) jest przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (1,0) i (0,1), czyli \(lin \left\{ (1,0) , (0,1)\right\}\) a to jest po prostu \(\rr^2\).
Zatem \(Im L=\rr^2\), a bazą są wektory (1,0) i (0,1)

Przy okazji, spełniony jest warunek \(\dim(\rr^3)=dim(Ker L)+dim(Im L)\), bo 3=1+2