wielomian charakterystyczny macierzy

[użytkownik+1]

Wielomian \(\varphi_A(x)=-x^3+4x^2+2x-1\) jest wielomianem charakterystycznym macierzy \(A\). Wyznacz wielomiany charakterystyczne macierzy:
a) \(2A-I\),
b)\((A+2I)^T\),
c)\(A^{-1}\).
Z góry dzięki za pomoc.

[panb]

Z definicji, wielomian charakterystyczny macierzy A, \(\varphi_A(x)=\det(xI-A)\).
Wobec tego, dla macierzy \(M=2A-I\), mamy
\(\varphi_M(x)=\det[xI-(2A-I)]=\det[(x+1)I-2A]=\det \left[2 \left( \frac{x+1}{2}I-A\right) \right]\)
Jeśli wielomian charakterystyczny macierzy A jest wielomianem stopnia 3 tzn., że macierz A jest rzędu 3x3.
\(\det \left[2 \left( \frac{x+1}{2}I-A\right) \right]= \begin{vmatrix} \text{wzór}\\ \text{Jeśli macierz A jest rzędu n, to}\\\det(cA)=c^n\det(A)\end{vmatrix}=2^3\det \left( \frac{x+1}{2}I-A \right) =8\varphi_A \left( \frac{x+1}{2} \right)\)

Zamiast robić pozostałe, podam użyteczne zwory dot. wyznaczników: \[\det(A)=\det(A^T)\]\[\det(A \cdot B)=\det(A) \cdot \det(B)\] Dasz już teraz radę, prawda?

[użytkownik+1]

Dziękuję @panb za pomoc. Prosiłbym jeszcze o sprawdzenie wyniku z b) \(\varphi_M(x)=-x^3+10x^2-26x+19\) oraz rozpisanie ostatniego podpunktu, bo nie mogę dojść do odpowiedniej postaci.

[panb]

Potrzebna będzie jeszcze jedna własność, a mianowicie \(\varphi_A(0)=(-1)^3\det(A)=-\det (A)\)
A ponieważ \(\varphi(0)=-1 \So \det(A)=1\).

Z własności działań na macierzach, mamy
\((xI-A^{-1})Ax=xIAx-Ix=xAx-xI=x^2A-xI=-x^2( \frac{1}{x}I-A)\)

Przykładając det do pierwszego i ostatniego członu tych równości, dostajemy
\(\varphi_{A^{-1}}(x) \cdot \det(Ax)=\det \left[ -x^2( \frac{1}{x}I-A)\right]\\
\varphi_{A^{-1}}(x) \cdot x^3\det(A)=(-x^2)^3 \cdot \varphi( \frac{1}{x})\)
i dalej już proosto do celu.

Poprawny wynik w b) (b jak brawo!) świadczy, że zrozumiesz moje przekształcenia i bez problemu dokończysz podpunkt c).

[użytkownik+1]

Wszystko jest jasne. Jeszcze raz wielkie dzięki za pomoc.