Liczby zespolone

[konrad00]

Czy ktoś może mi (dosyć szczegółowo) wyjaśnić mechanizm rozwiązywania takich równań? Bo coś mi nie chcą wyjść.
a) \((z-1)^{6} = (i-z)^{6}\)
b) \(z^{3} = (iz + 1)^{3}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[panb]

Mogę wyjaśnić podpunkt a). Ten drugi robi się podobnie.
Będę korzystał z wzoru na pierwiastek liczby zespolonej: \[z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi) \So \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{|z|} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n} \right),\,\,\,k=0,1,2,\ldots ,n-1\] a) \((z-1)^6=(i-z)^6\)
Zauważmy, że liczba \(z=i\) nie jest rozwiązaniem równania. Rzeczywiście, \((i-1)^6\neq0=(i-i)^6\).
Wobec tego możemy obie strony równania podzielić przez \((i-z)^6\).
Wobec tego, \((z-1)^6=(i-z)^6 \iff \left( \frac{z-1}{i-z}\right)^6 =1 \So \frac{z-1}{i-z}= \sqrt[6]{1}\)
Zgodnie ze wzorem, \(1=\cos0+i\sin0 \So \sqrt[6]{1}=\cos \frac{2k\pi}{6}+i\sin \frac{2k\pi}{6},\,\, k=0,1,2,3,4,5\)
Czyli \[\sqrt[6]{1}= \begin{cases}\cos0+i\sin0=1\\\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}= \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt3}{2} \\ \cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}= -\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt3}{2} \\\cos\pi+i\sin \pi=-1\\\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}= -\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt3}{2} \\ \cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}= \frac{1}{2}-i \frac{\sqrt3}{2}\end{cases}\] No i mamy do rozwiązania 6 równań.

1. \(\frac{z-1}{i-z}=1 \iff z-1=i-z \iff 2z=1+i \iff z= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
2. \(\frac{z-1}{i-z}= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}i \iff z-1= \frac{1}{2}(1+i\sqrt3)(i-z) \iff 2z-2=i-z-\sqrt3-iz \sqrt3\\
   3z+iz\sqrt3=i-\sqrt3+2 \iff z(3+i\sqrt3)=i=2-\sqrt3 \iff z= \frac{i+2-\sqrt3}{3+i\sqrt3}\\
   z= \frac{(i+2-\sqrt3)(3-i\sqrt3)}{3+i\sqrt3)(3-i\sqrt3)}= \frac{6i-2i\sqrt3+6-2\sqrt3}{12}= \frac{i(3-\sqrt3)+(3-\sqrt3)}{6}=(3-\sqrt3) \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6}i \right)\)
3. \(z-1= \frac{1}{2}(i-z)(-1+i\sqrt3) \iff 2z-2=-i-\sqrt3+z-iz\sqrt3\\
   z+iz\sqrt3=2-i-\sqrt3 \iff z(1+i\sqrt3)=2-i-\sqrt3 \iff z= \frac{2-i-\sqrt3}{1+i\sqrt3}\\
   z= \frac{(2-i-\sqrt3)(1-i\sqrt3)}{(1+i\sqrt3)(1-i\sqrt3)}=(\sqrt3-1) \left( - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \right)\)
4. \(z-1=-1(i-z) \iff z-1=z-i \iff i=1\) - sprzeczność
5. \(z-1=- \frac{1}{2}(1+i\sqrt3)(i-z) \iff \ldots \iff z=(\sqrt3+1) \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \right)\)
6. \(z-1= \frac{1}{2}(1-i\sqrt3)(i-z) \iff \ldots \iff z=(3+\sqrt3) \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6}i \right)\)

Odp.: \((z-1)^6=(i-z)^6 \iff \\
z\in \left\{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i,\,\, (3-\sqrt3) \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6}i \right),\,\, (\sqrt3-1) \left( - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \right),\,\,(\sqrt3+1) \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \right),\,\, (3+\sqrt3) \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6}i \right)\right\}\)