Obliczyć odległość

[KALIFF]

Witam potrzebuje pomocy z tymi przykładami:

Obliczyć odległość:

c)punktu P = (2,−5, 1) od prostej l : x = t, y = 1 − 2t, z = −3 + 2t (t ∈ R);

d)prostych równoległych
l1 \(\begin{cases} x + y + z − 3 = 0 \\ x − 2y − z − 1 = 0 \end{cases}\)
l2 \(\begin{cases} x + y + z − 3 = 0 \\ x− 2y − z + 4 = 0 \end{cases}\)



e)prostych skośnych
l1 : x = 1 − t, y = 1, z = −3 + 2t (t ∈ R), l2 : x = s, y = 3 − 2s, z = 1 − 5s (s ∈ R).

[KALIFF]

Nikt nic ;d?

[panb]

ad c) - metody są opisane w wielu źródłach. Nie wiem czemu nie skorzystasz.
Dane: \(P=(2,-5,1),\,\,\, l: \begin{cases}x=t\\y=1-2t\\z=-3+2t \end{cases}\)
ETAP 1 Konstruujemy płaszczyznę \(\pi\) przechodzącą przez punkt P i prostopadłą do prostej l

• \(\pi:\,\, 1(x-2)-2(y+5)+2(z-1)=0 \iff x-2y+2z-14=0\)

ETAP 2 znajdujemy punkt wspólny W płaszczyzny \(\pi\) i prostej l

• \(t-2(1-2t)+2(-3+2t)-14=0 \iff t= \frac{22}{9} \\
  W= \left( \frac{22}{9}; 1-2 \cdot \frac{22}{9}; -3+2 \cdot \frac{22}{9} \right)= \left( \frac{22}{9} ; -\frac{35}{9} ; \frac{17}{9} \right)\)

ETAP 3 Obliczamy długość odcinka WP, która jest szukaną odległością d punktu P od prostej l

• \(|WP|^2=d^2=( \frac{22}{9}-2)^2+(- \frac{35}{9} +5)^2+( \frac{17}{9} -1)^2= \frac{20}{9}\\
  d= \frac{2\sqrt5}{3}\)

[panb]

ad d) jeśli proste są równoległe, to ich odległość obliczamy w dwóch etapach

ETAP 1 na prostej \(l_1\) wybieramy (dowolny) punkt P
ETAP 2 obliczamy odległość punktu P od prostej \(l_2\) - tak jak w podpunkcie c)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ponieważ proste nie są w postaci parametrycznej, pokażę jak do takiej postaci sprowadzić prostą \(l_2\)

• \(l_2: \begin{cases} x+y+z-3=0\\x-2y-z+4=0\end{cases} \iff \begin{cases} x+z=-y+3\\x-z=2y-4\end{cases} \So \begin{cases} x= \frac{1}{2}y- \frac{1}{2} \\ y=y\\z=- \frac{3}{2} y+ \frac{7}{2} \end{cases}\)
  Zatem \(\,\,l_2:\,\, \begin{cases}x=- \frac{1}{2} +t \\ y=2t\\z= \frac{7}{2} - 3t\end{cases}\)

Dalej już sam zrób, wg etapów w punkcie c)

Wskazówka: sprawdź, że punkt (2,0,1) leży na prostej \(l_1\).

[panb]

Witam potrzebuje pomocy z tymi przykładami:

Obliczyć odległość:
e)prostych skośnych
l1 : x = 1 − t, y = 1, z = −3 + 2t (t ∈ R), l2 : x = s, y = 3 − 2s, z = 1 − 5s (s ∈ R).

\(l_1: \begin{cases} x=1-t\\y=1\\z=-3+2t\end{cases},\,\,\, l_2: \begin{cases}x=s\\y=3-2s\\z=1-5s \end{cases}\)
ETAP 1 napisać równanie płaszczyzny zawierającej prostą \(l_1\) i równoległej do prostej \(l_2\)

• Płaszczyzna ta przechodzi przez punkt \((1,1,-3)\) i jest prostopadła do wektora \([-1,0,2]\times[1,-2,-5]=[4,-3,2]\)
  czyli ma równanie \(4x-3y+2z+D=0\). Podstawiając współrzędne punktu, mamy \(4-3-6+D=0 \So D=5\)
  i płaszczyzna ta ma równanie \(4x-3y+2z+5=0\)

ETAP 2 znaleźć odległość dowolnego punktu prostej \(l_2\) od tej płaszczyzny

• Odległość punktu \((0,3,1)\in l_2\) od płaszczyzny \(4x-3y+2z+5=0\) opisuje wzór
  \(d= \frac{|4 \cdot 0-3 \cdot 3+2 \cdot 1+5|}{ \sqrt{4^2+(-3)^2+2^2} }= \frac{2}{ \sqrt{29} }\)