Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma

[KALIFF]

Witam mam problem z 2 przykładami:
Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie

\(\begin{cases} mx + y + 2z = 0\\ 2x - y + mz = 0\\ mx + y + 4z = 0\end{cases}\)


Dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny

\begin{cases}x + y = a \\z + t = b\\x + z = c\\y + t = d\end{cases}

[KALIFF]

Nikt nie pomoże ?:((

[radagast]

Witam mam problem z 2 przykładami:
Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie

\(\begin{cases} mx + y + 2z = 0\\ 2x - y + mz = 0\\ mx + y + 4z = 0\end{cases}\)

zerowe ma, no to żeby miał niezerowe to wyznacznik musi być równy 0.
Policz wyznacznik . przyrównaj do 0 ... i masz

[KALIFF]

czyli policzyłem wyznacznik wyszedł mi m= \frac{5}{3} \neq 0 i to tak ma być? i tyle?

[KALIFF]

\(\frac{5}{3}\) \neq 0

[KALIFF]

\(\frac{5}{3}\)\neq 0

[Panko]

Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia nietrywialnego rozwiązania ( czyli niezerowe)
układu n równań liniowych jednorodnych o n niewiadomych jest, aby det A = 0 .
...........................................................................................
Policz poprawnie ten wyznacznik : \(detA=-2m-4\)
.........................................................................................
Odp: \(m=-2\)

[KALIFF]

Ok machnąłem się w obliczeniach ale już mam tak jak ma być. A przykład b wiesz może jak zrobić?

[radagast]

Dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny

\begin{cases}x + y = a \\z + t = b\\x + z = c\\y + t = d\end{cases}

\(\begin{vmatrix} 1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{vmatrix} =0\) ten warunek jest spełniony
Musi być jeszcze spełniony jeden z czterech. Wiesz jakich ?

[KALIFF]

Dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny

\begin{cases}x + y = a \\z + t = b\\x + z = c\\y + t = d\end{cases}

\(\begin{vmatrix} 1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{vmatrix} =0\) ten warunek jest spełniony
Musi być jeszcze spełniony jeden z czterech. Wiesz jakich ?

Skąd tam się te zera wzięły? Bo nie ogarniam...

[Panko]

Alb najprościej : trochę zredukować do układu \(2 \times 2\)
dodać trzecie do czwartego równania stronami i podmienić dwumian \(z+t\) na \(b\)

i dostajemy : \(\begin{cases} x+y=a\\ z+t=b\\ x+y+z+t=c+d\end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=a\\ z+t=b\\ x+y+b=c+d\end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=a\\ z+t=b\\ x+y=c+d-b\end{cases}\)

i widać ,że jest sprzeczny gdy : \(a \neq c+d-b\)

[radagast]

Dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny

\begin{cases}x + y = a \\z + t = b\\x + z = c\\y + t = d\end{cases}

\(\begin{vmatrix} 1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{vmatrix} =0\) ten warunek jest spełniony
Musi być jeszcze spełniony jeden z czterech. Wiesz jakich ?

Skąd tam się te zera wzięły? Bo nie ogarniam...

\(\begin{cases}1x +1 y+0z+0t = a \\0x+0y+1z + 1t = b\\1x+0y + 1z+0t = c\\0x+1y + 0z+1t = d\end{cases}\)

[KALIFF]

Dzięki wielkie!

[radagast]

\(\begin{vmatrix} a&1&0&0\\b&0&1&1\\c&0&1&0\\d&1&0&1\end{vmatrix} \neq 0\)
lub
\(\begin{vmatrix} 1&a&0&0\\0&b&1&1\\1&c&1&0\\0&d&0&1\end{vmatrix} \neq 0\)
lub...
każdy z tych czterech wyznaczników się dość łatwo liczy , bo macierze mają dużo zer .